贪心算法
基本概念
- 是指算法每次做选择的时候是“贪心”的，也就是尽量选择从目前来看的最优解（局部最优解）；如旅行商问题中，设目前处于城市ci，那么就选择一条从ci到其他未经过城市中最短的边。
- 局部最优选择，不一定能达到全局最优；对具有“最优子结构性质”的问题可以得到全局最优解，但对另外一些问题是无法获得全局最优解的。
钱币兑换
动态规划
step1：判断是否具有最优子结构性质：设X为面值为w的纸币的最优解，从X中却走一个面值为vi的硬币，即X.xi <- X.xi - 1，则新的解X'必然是面值为w-vi纸币的最优解，所以钱币兑换问题具有最优子结构性质。
step2：递归定义最优值：
step3：自底向上计算最优值
step4：根据最优值构造最优解
贪心算法
先兑换大面额的硬币，只有在大面额硬币无法兑换时，才兑换小面额的硬币。
贪心算法和动态规划
通过钱币兑换问题，我们发现贪心算法和动态规划对子问题的定义是不一致的。动态规划的子问题有n个（即y-vi）；而贪心算法子问题就非常简单，y=y-vi，vi是贪心选择得出的唯一解。
如果设X^n为原问题的贪心解，x为原问题的当前贪心选择，X^n-1为子问题的贪心解，则有以下等式：
贪心解是最优解吗？
替换法
用贪心算法得出的解(x1,x2,...,xn)和最优解(y1,y2,...,yn)中的元素依次进行比较，如果元素xi和yi相同，则将最优解中的yi替换成xi，显然替换前后解的形式不变，则仍为最优解；如果不同，还是要将yi替换成xi，但此时，还需证明替换后的解依然是最优解。
归纳法
- 贪心选择是正确的：x=x*
- 问题具有最优子结构性质：Xn = x ∪ X*n-1
小数背包问题
给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的承重为C。要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大，在选择某物品时，可以只选择物品的一部分装入背包。
贪心算法不一定能够得出0-1背包的最优解
最小生成树
Kruskal算法
- 初始化：将图G=(V,E)初始化为n个独立的顶点，并将所有的边按权值从小到大排序；
- 依次遍历排好的边，如果边eij的两个顶点vi和vj属于不同的连通分支，则将此边加入到树中，否则忽略此边。
对边排序（语句7）复杂度为O(mlogm)，第二个for循环（语句8-13）执行m次，循环体内的FIND语句（语句9）的复杂度为O(logn)，即第二个for循环的复杂度为O(mlogn)，所以算法的总复杂度为O(mlogm+mlogn) = O(mlogm)
Prim算法
- 初始化：所有节点的weight值为∞，prev值设为null，选择任意节点作为根节点，根节点的weight置为0，prev值为自身，并将根节点放入T中（最终的T为最小生成树），并将根节点设为当前节点；
- 将所有和当前节点直接相连的节点weight进行更新，即如果和当前节点相连的边的权重小于节点的weight值，则更新，且将prev值设为当前节点，否则，不进行任何更新；
- 在剩余的节点中，选择一个weight值最下的节点加入到T中，并将此节点作为当前节点；
- 重复步骤2和3，直到所有的节点加入到T中。
霍夫曼编码
- 数据压缩：应用网络、磁盘数据压缩，减少数据的传输量和存储量；
- 霍夫曼编码广泛的应用在数据压缩，可节省约20%-90%的数据量。
算法流程
假设F是一个n个字符的集合，每个字符c的频率由函数c.freq给出。
- 将所有字符按频率形成最小堆T；
- 从T中依次提取堆的根节点x和y，并将其合并为z，z的频率为x和y频率之和，其两个子节点分别为x和y，之后，将z插入到堆T；
- 重复以上步骤，堆中只有一个元素为止。
**算法复杂度为O(nlogn)
