持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第N天，点击查看活动详情 🌴 1 树的概念及结构 🌲1.1 树的概念 我们先来了解一下树的概念
树是一种数据结构，它是由n(n≥0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
树的特点:
每个节点有零个或多个子节点； 没有父节点的节点称为根节点； 每一个非根节点有且只有一个父节点； 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树 树的概述图:
注意:
树形结构中,子树之间不能有交集,否则不是树形结构,即不能存在环
🌲1.2 树的相关概念 与种族观念类似
空集合也是树，称为空树。空树中没有节点； 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 节点的度：一个节点含有的子节点的个数称为该节点的度； 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟； 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点； 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙； 森林：由棵互不相交的树的集合称为森林。 🌴 2 二叉树的概念和结构 🌲 2.1 二叉树的概念 二叉树（Binary tree）是树形结构的一个重要类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。二叉树特点是每个节点最多只能有两棵子树，且有左右之分 。 二叉树是n个有限元素的集合，该集合或者为空、或者由一个称为根（root）的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成，是有序树。当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。在二叉树中，一个元素也称作一个节点 二叉树如图所示:
🌲 2.2 特殊的二叉树 满二叉树 一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。 如图所示:
完全二叉树 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 如图所示:
🌲 2.3 二叉树的性质 1：二叉树的第i层上至多有2i-1（i≥1）个节点 。 2：深度为h的二叉树中至多含有2h-1个节点 。 3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1 。 4：具有n个节点的满二叉树深为log2n+1。 5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：
当i=1时，该节点为根，它无双亲节点 [6] 。 当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2 [6] 。 若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点 [6] 。 若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点 [6] 🌲 2.4 二叉树的存储结构 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
// 二叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType _data; // 当前节点值域 } // 三叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子 BTDataType _data; // 当前节点值域 }； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 🌴 3 堆(并非操作系统中的堆) 🌲 3.1 什么是堆 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1， k2，…，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
🌲 3.2 堆的性质 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值； 堆总是一棵完全二叉树 🌲 3.3 堆的实现 下面分布进行对的学习以及实现
🌳 3.3.1 实现堆的算法 向下调整算法 : 左右子树必须是一个堆,才能进行调整
向上调整算法:
🌳 3.3.2 Heap.h #pragma once #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<assert.h> #include<stdbool.h>
//创建堆结构 typedef int HPDataType; //堆中存储数据的类型 typedef struct Heap { HPDataType* a; //用于存储数据 size_t size; //记录堆中有效元素个数 size_t capacity; //记录堆的容量 }HP;
//初始化堆 void HeapInit(HP* php); //堆的销毁 void HeapDestroy(HP* php); //堆的打印 void HeapPrint(HP* php);
//交换 void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb); //堆的插入 void HeapPush(HP* php, HPDataType x); //堆的删除 删除堆顶的数据 void HeapPop(HP* php);
//堆的判空 bool HeapEmpty(HP* php); //堆的元素个数 size_t HeapSize(HP* php); //获取堆顶元素 HPDataType HeapTop(HP* php); //堆排序 void HeapSort(int*a,int n);
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 🌳 3.3.3 Heap.c #include"Heap.h" //初始化堆 void HeapInit(HP* php) { assert(php); php->a = NULL; php->size = php->capacity = 0; }
//堆的销毁 void HeapDestroy(HP* php) { assert(php); free(php->a); php->a = NULL; //置空 php->size = php->capacity = 0; //置0 } //堆的打印 void HeapPrint(HP* php) { assert(php); for (size_t i = 0; i < php->size; i++) { printf("%d ", php->a[i]); } printf("\n"); }
//交换 void Swap(HPDataType* pa, HPDataType* pb) { HPDataType tmp = *pa; *pa = *pb; *pb = tmp; }
//向上调整算法 void AdjustUp(HPDataType* a, size_t child) { size_t parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { //if (a[child] > a[parent]) //大根堆 if (a[child] < a[parent]) //小根堆 { Swap(&a[child], &a[parent]); child = parent; parent = (child - 1) / 2; } else { break; } } }
//向下调整算法 void AdjustDown(HPDataType* a, size_t size, size_t root) { int parent = root; int child = 2 * parent + 1; while (child < size) { //1、确保child的下标对应的值最小，即取左右孩子较小那个 if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]) //得确保右孩子存在 { child++; //此时右孩子小 } //2、如果孩子小于父亲则交换，并继续往下调整 if (a[child] < a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = 2 * parent + 1; } else { break; } } }
//堆的插入 void HeapPush(HP* php, HPDataType x) { assert(php); //检测是否需要扩容 if (php->size == php->capacity) { //扩容 size_t newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2; HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 🌴 4. 二叉树链式结构的实现 🌲 4.1 二叉树的遍历 先序遍历 先序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
中序遍历 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
后序遍历 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
层序遍历 层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
🌲 4.2 二叉树的实现 🌳 4.2.1 Btree.h #pragma once #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <assert.h> #include <stdbool.h> typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode { BTDataType _data; struct BinaryTreeNode* _left; struct BinaryTreeNode* _right; }BTNode;
BTNode* BuyNode(BTDataType x);
// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树 BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi); // 二叉树销毁 void BinaryTreeDestroy(BTNode** root); // 二叉树节点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root); // 二叉树叶子节点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root); // 二叉树第k层节点个数 int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k); // 二叉树查找值为x的节点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x); // 二叉树前序遍历 void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root); // 二叉树中序遍历 void BinaryTreeInOrder(BTNode* root); // 二叉树后序遍历 void BinaryTreePostOrder(BTNode* root); // 层序遍历 void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root); // 判断二叉树是否是完全二叉树 int BinaryTreeComplete(BTNode* root); //求二叉树的高度 int BinaryTreeHeight(BTNode* root);
typedef BTNode *QDataType;
typedef struct QueueNode { QDataType data; struct QueueNode* next }
//先序遍历 void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
// 层序遍历 void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) { Queue q; QueueInit(&q); assert(root); QueuePush(&q, root); while(!QueueEmpty(&q)) { BTNode *temp= QueueFront(&q); printf("%c ",temp->_data); if(temp->_left) { QueuePush(&q,temp->_left); } if(temp->_right) { QueuePush(&q,temp->_right); } QueuePop(&q); } QueueDestory(&q); }
// 二叉树节点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root) { if(root==NULL) { return 0; } if(root->_left==NULL&&root->_right==NULL) { return 1; } return BinaryTreeSize(root->_left)+BinaryTreeSize(root->_right)+1; }
// 二叉树查找值为x的节点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) { if(root==NULL) { return NULL; } if(root->_data==x) { return root; } return BinaryTreeFind(root->_left, x); return BinaryTreeFind(root->_right,x);
}
// 二叉树第k层节点个数 int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) { if(root==NULL) { return 0; } if(k==1) { return 1; } return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k-1)+BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k-1); }
// 二叉树叶子节点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) { if(root==NULL) { return 0; } if(root->_left==NULL&&root->_right==NULL) { return 1; } return BinaryTreeLeafSize(root->_left)+BinaryTreeLeafSize(root->_right); }
// 判断二叉树是否是完全二叉树 int BinaryTreeComplete(BTNode* root) { if(root==NULL) { return 1; } Queue q; QueueInit(&q); QueuePush(&q,root); while(!QueueEmpty(&q)) { BTNode temp= QueueFront(&q); QueuePop(&q); if(temp==NULL) { break; } QueuePush(&q,temp->_left); QueuePush(&q,temp->_right); } while(!QueueEmpty(&q) { BTNode temp= QueueFront(&q); QueuePop(&q); if(temp!=NULL) { printf("不是完全二叉树\n"); return 0; } } printf("是完全二叉树\n"); return 1; } // 二叉树销毁 void BinaryTreeDestroy(BTNode root) { if(root==NULL) { return ; } if(*root==NULL) { return; } BinaryTreeDestroy(&((*root)->_left)); BinaryTreeDestroy(&((*root)->_right)); free(*root); *root=NULL; return; }
//求二叉树的高度 int BinaryTreeHeight(BTNode*root) { if(root==NULL) { return 0; } if(root->_right==NULL&&root->_left==NULL) { return 1; } return (BinaryTreeHeight(root->_left)>=BinaryTreeHeight(root->_right) ? BinaryTreeHeight(root->_left)+1 :BinaryTreeHeight(root->_right)+1); }
//队列的创建 void QueueInit(Queue* pq) { assert(pq); pq->head = pq->tail = NULL; }
void QueueDestory(Queue* pq) { assert(pq); QNode* cur = pq->head; while (cur) { QNode* next = cur->next; free(cur); cur = next; }
pq->head = pq->tail = NULL;
}
void QueuePush(Queue* pq, QDataType x) { assert(pq); QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode)); assert(newnode);
newnode->data = x; newnode->next = NULL; if (pq->tail == NULL) { assert(pq->head == NULL); pq->head = pq->tail = newnode; } else { pq->tail->next = newnode; pq->tail = newnode; } }
void QueuePop(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->head && pq->tail);
if (pq->head->next == NULL) { free(pq->head); pq->head = pq->tail = NULL; } else { QNode* next = pq->head->next; free(pq->head); pq->head = next; } }
bool QueueEmpty(Queue* pq) { assert(pq); //return pq->head == NULL && pq->tail == NULL; return pq->head == NULL; }
size_t QueueSize(Queue* pq) { assert(pq); QNode* cur = pq->head; size_t size = 0; while (cur) { size++; cur = cur->next; } return size; }
QDataType QueueFront(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->head);
return pq->head->data; }
QDataType QueueBack(Queue* pq) { assert(pq); assert(pq->tail);
return pq->tail->data;
}
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 🌳 4.2.3 main.c #include"Btree.h" 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 🌴5. 相关题目练习
