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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2

输出: 1

解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10

输出: 36

解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

暴力搜索

对于给定的一个整数 n，穷举它的每一种分解情况，然后对所有情况，求最大值。

fun integerBreak(n: Int): Int {
    if (n == 2) {
        return 1
    }
    var res = -1
    for (i in 1..n - 1) {
        res = Math.max(res, Math.max(i * (n - i), i * integerBreak1(n - i)))
    }
    return res
}

动态规划

令dp[i]表示整数i对应的最大乘积，那么dp[i]的值应是dp[j]×(i-j),j属于[1,i-1]的最大值，同时注意dp[i]对应的值是经过拆分了的，所以还应判断两个数拆分的情况，即j*(i-j)的值，取最大即可。

fun integerBreak(n: Int): Int {
    if (n <= 3) {
        return n - 1
    }
    val dp = IntArray(n + 1)
    dp[2] = 1
    for (i in 3..n) {
        dp[i] = (2 * (i - 2)).coerceAtLeast(2 * dp[i - 2]).coerceAtLeast((3 * (i - 3)).coerceAtLeast(3 * dp[i - 3]))
    }
    return dp[n]
}

数学

当我们多写几组数据推导就会发下以下规律：

1. 若拆分的数量 a 确定， 则各拆分数字相等时，乘积最大。
2. 将数字 n 尽可能以因子 3 等分时，乘积最大。

所以我们可以把数字 n 尽可能拆为多个因子 3 ，余数可能为0,1,2 三种情况，若余数为 2，则保留，不再拆为 1+1，若余数为 1，则应把一份 3 + 1 替换为 2+2，因为 2×2>3×1。

代码如下：

fun integerBreak(n: Int): Int {
    if (n <= 3) return n - 1
    val a = n / 3
    val b = n % 3
    if (b == 0) return 3.0.pow(a.toDouble()).toInt()
    return if (b == 1) 3.0.pow((a - 1).toDouble()).toInt() * 4 else 3.0.pow(a.toDouble()).toInt() * 2
}