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题目

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n，请计算 F(n)。

示例 1：

• 输入： n = 2
• 输出： 1
• 解释： F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入： n = 3
• 输出： 2
• 解释： F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

• 输入： n = 4
• 输出： 3
• 解释： F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

方法一：动态规划

思路及解法

斐波那契数的边界条件是 F(0)=0 和 F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此我们可以知道有如下递推关系：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

由于斐波那契数存在递推关系，因此我们可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。

我们根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现。由于 F(n) 只和 F(n-1) 与 F(n-2) 有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。

代码

class Solution {
    func fib(_ n: Int) -> Int {
        if n < 2 {
            return n
        }
        
        var p: Int = 0
        var q: Int = 0
        var r: Int = 1
        for _ : Int in 2...n {
            p = q
            q = r
            r = p + q
        }
        return r
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。

• 空间复杂度：O(1)。