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二叉树的概念和性质

二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是含有n（n≥0）个结点（node）的有限集合。当n = 0时称为空二叉树。在非空二叉树中：

有且仅有一个称为根（root）的结点

其余结点划分为两个互不相交的子集L和R，其中L和R也是一棵二叉树，分别称为左子树（left subtree）和右子树（right subtree），且其次序不能颠倒。(其余结点0个的话，划分为两个空集——两棵空子树)

二叉树的基本术语

二叉树的结点包含一个数据元素及指向其左右子树的两个分支，分别称为左分支和右分支。

结点的左、右子树的根称为该结点的左、右孩子，统称为孩子(children)，相应地，该结点称为孩子的双亲（parent）

同一个双亲的孩子之间可互称为兄弟（sibling）

结点的孩子个数称为结点的度（degree）

度为0的结点称为叶子结点（leaf）

非叶子结点称为内部结点或分支结点（internal node）

结点的层次（level）: 从根结点开始定义，根为第1层，根的孩子为第2层，如此计数，直到该结点为止

二叉树的深度（depth）或高度(height): 二叉树中结点的最大层次。

二叉树上的性质

性质1 ：在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1) 个结点。(i≥1)

性质 2 ：深度为 k 的二叉树上最多含 2^k-1 个结点（k≥1）

性质 3:对于任意一棵二叉树，如果度为0的结点个数为n0，度为2的结点个数为n2，则n0 = n2+1
- 两类特殊的二叉树
- 满二叉树：深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。(除最后一层外,每一层上的所有结点都有两个子结点)
- 完全二叉树：二叉树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应

性质 4：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 [log2n] +1。

性质5: 对于含n个结点的完全二叉树中编号为i（1≤i≤n）的结点：
- （1）如果i = 1，则i结点是这棵完全二叉树的根，没有双亲；否则其双亲的编号为 [i/2] 。
- (2）如果2i＞n，则i结点没有左孩子；否则其左孩子的编号为2i。
- （3）如果2i+1＞n，则i结点没有右孩子；否则其右孩子的编号为2i+1。

二叉树的存储结构

顺序结构储存完全二叉树

可用一维数组存储完全二叉树(0号单元不用)，结点的编号对应于结点的下标，且每个结点的双亲、左孩子和右孩子在数组中的下标均可根据性质5计算而得。

 //完全二叉树的顺序存储结构的类型定义
typedef char TElemType;    
   // 假设二叉树结点的元素类型为字符
typedef struct {
   TElemType *elem;     // 0号单元闲置
   int lastIndex;              // 二叉树最后一个结点的编号
} SqBiTree;    // 顺序存储的二叉树

链式存储结构

typedef struct  BiTNode {
    TElemType      data;     // 数据域
    struct BiTNode  *lchild,*rchild;  // 左、右孩子指针
} BiTNode,*BiTree;   // 二叉链表

创建二叉树

分为两步：
- 生成一个新结点t,其数据域的值为e
- 创建一棵二叉树T，其中根结点为t，L和R分别作为左子树和右子树

BiTree MakeBiTree(TElemType e, BiTree L, BiTree R) {
     BiTree t;
     t = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
     if(NULL==t) return NULL;
     t->data = e;              // 根结点的值为e
     t->lchild = L;           // L作为t的左子树
     t->rchild = R;           // R作为t的右子树
     return t;
}

三叉链表：

typedef struct TriTNode {
    TElemType data; // 数据域
    TriTNode *parent, *lchild, *rchild;    
           // 双亲、左、右孩子指针
} TriTNode, *TriTree; //三叉链表

遍历二叉树

对“二叉树”而言，可以有三条搜索路径：

先左(子树)后右(子树)的遍历；

先右(子树)后左(子树)的遍历；

先上后下的层次遍历。

限定先左后右，则有三种实现方案：先序遍历（根左右）、中序遍历（左根右）、后序遍历（左右根）

递归遍历：以中序为例

若二叉树不为空，则依次进行以下操作：

遍历根结点的左子树

访问根结点

遍历根结点的右子树

Status InOrderTraverse(BiTree T, Status (*visit)(TElemType e)) {
    if(NULL==T) return OK;
    if(ERROR==InOrderTraverse(T->lchild, visit))
        return ERROR;    // 递归遍历T的左子树
     if(ERROR==visit(T->data)) return ERROR;  // 访问结点的数据域
     return InOrderTraverse(T->rchild, visit);  // 递归遍历T的右子树
}

从三种遍历算法可以知道：如果将visit语句抹去，从递归的角度看，这三种算法是完全相同的，或者说这三种遍历算法的访问路径是相同的，只是访问结点的时机不同。

非递归遍历

可利用栈实现

前序：根结点T先进栈，随后栈顶出栈，之后先后将T的右子树左子树压栈，周而复始重复操作，直到出栈结点没有左右子树

void PreOrder(BiTree T, Status (*visit)(TElemType))
{ 
  Stack s;
  InitStack(s);
  if (T)
    Push(s, T);
  while (StackEmpty(s)!=TRUE)
  {
    BiTree t;
    Pop(s, t);
    visit(t->data);
    if (t->rchild)
      Push(s, t->rchild);
    if (t->lchild)
      Push(s, t->lchild);
  }

}

中序：从根节点T开始一直往左下走，沿途结点入栈，返回最左下的结点p，若p结点的右孩子存在，则令p指向右孩子，然后向左走到底，并依次将指向沿途结点的指针入栈。否则判断栈是否为空？若非空则将保留在栈顶的指针退栈并赋给p，周而复始。

void InorderTraverse_I(BiTree T, Status(*visit) (TElemType e)) { 
    LStack S;    InitStack_LS(S);
    BiTree p;    p = GoFarLeft(T, S);  // 找到最左下的结点
    while(p!=NULL) {
       visit(p->data);  // 访问结点
       if(p->rchild!=NULL)  // 令p指向其右孩子为根的子树的最左下结点
           p = GoFarLeft(p->rchild, S); 
       else if(StackEmpty_LS(S)!=TRUE) Pop_LS(S,p); // 栈不空时退栈
       else  p = NULL; // 栈空表明遍历结束
    } 
  }

后序：需要用到两个栈，一个操作栈一个收集栈，根结点T先进操作栈，随后操作栈栈顶出栈到收集栈，之后先后将T的左子树右子树压操作栈，周而复始重复操作，直到出栈结点没有左右子树，之后收集栈出栈到空

void PostOrder(BiTree T, Status (*visit)(TElemType))
{   // Add your code here
  SElemType t,l,r;
  if(T==NULL) return;
  Stack s1,s2;//两个栈，分别是操作栈和收集栈
  InitStack(s1);
  InitStack(s2);
  t.ptr=T;
  Push(s1,t);
  while(!StackEmpty(s1)){
    Pop(s1,t);
    Push(s2,t);
    if(t.ptr->lchild!=NULL){
      l.ptr=t.ptr->lchild;
      Push(s1,l);
    }
    if(t.ptr->rchild!=NULL){
      r.ptr=t.ptr->rchild;
      Push(s1,r);
    }
  }
  while(!StackEmpty(s2)){    //遍历收集栈
    Pop(s2,t);
    visit(t.ptr->data);
  }

}

数据结构——二叉树（一）