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题目描述

2022/10/26 每日一题
难度：困难

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，找出 nums 中和至少为 k 的最短非空子数组 ，并返回该子数组的长度。如果不存在这样的子数组 ，返回 -1 。子数组是数组中连续的一部分。

输入：整数数组nums、整数 k
输出：使子数组（连续）和大于K的最小子数组长度

算法思路

1. 初始想法：从题中的连续数组第一个想到的是滑动窗口，于是尝试使用滑动窗口。确实滑动窗口可以实现一半左右的用例，但是当数组中出现负数时，会造成子数组和的非单调递增。
   例如用例nums = [84, -37, 32, 40, 95] ，k = 167：

• 首次遍历时需将整个数组都添加到子数组中才能满足k，此时可以开始滑动左边界来减小窗口，以获取满足条件的最小窗口，但是当将最左元素87移除后，子数组不满足K了。
• 若数组中元素均为正数，此时再继续删除元素，子数组和势必是更小于K的，因此左边界无需再滑动，而是继续滑动右边界。
• 但若数组中元素存在负数，则继续删除元素后子数组和必然会继续增大，且仍有可能是满足K的。因此不适合使用滑动窗口

2. 前缀和：前缀和也是连续区间问题的一种常用解法，核心思想为先固定左边界，依次增加右边界计算数组前缀和s[i]，中间区间[i, j)的和则可使用s[j] - s[i]计算得到。比较各前缀和的差以及它们下标的差就可以求解。

滑动窗口和前缀和

共同点：适用于连续区间问题
区别：区间中存在负数时使用前缀和更好，不存在负数时使用滑动窗口更好

优化

前缀和依次比较的时间复杂度为O(n^2)，可以进行优化。依次遍历前缀和数组s[i]，同时将其加入到双端队列中：

• 优化1：若s[cur] - s[first] >= k，此区间内元素满足条件，无论s[cur + 1] - s[first]是否大于k，s[first]都不再能构成更优解（若大于K，区间的长度会+1，不满足最小区间；小于k不满足条件），因此可将队列中的第一个元素出队。
• 优化2：当s[cur] <= s[last]，若后续存在s[i]，使得s[i] - s[last] >= k，则必然存在s[i] - s[cur] >= k，且cur的区间小于last的区间，因此可将s[last]，即队列中最后一个元素出队。（保持队列单调递增）

数据结构

• long数组s[n + 1]：存储前缀和，前缀和比原数组长度多1，因为整个数组的前缀和为0；long类型防止前缀和大小溢出
• 初始化ans = n + 1：若为n则无法区分整个数组相加 >= k的情况，和永远无法满足条件返回-1的情况
• deque双端队列：由两个优化可知需对存储前缀和的数据结构的两端都进行操作

代码实现

前缀和+单调双端队列

public int shortestSubarray(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    long[] s = new long[n + 1];
    int ans = n + 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1];
    }
    Deque<Integer> deque = new ArrayDeque<>();
    for(int i = 0; i <= n; i++){
        while(!deque.isEmpty() && s[i] - s[deque.peekFirst()] >= k){
            ans = Math.min(ans, i - deque.pollFirst());
        }
        while(!deque.isEmpty() && s[i] <= s[deque.peekLast()]){
            deque.pollLast();
        }
        deque.offer(i);
    }
    return ans == n + 1 ? -1 : ans;
}