leetcode第77题

蜡笔小新丶henry
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本文已参与「新人创作礼」活动,一起开启掘金创作之路。

leetcode第77题

题目描述（中等难度）

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给定 n ，k ，表示从 { 1, 2, 3 ... n } 中选 k 个数，输出所有可能，并且选出数字从小到大排列，每个数字只能用一次。

解法一 回溯法

这种选数字很经典的回溯法问题了，先选一个数字，然后进入递归继续选，满足条件后加到结果中，然后回溯到上一步，继续递归。直接看代码吧，很好理解。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
     getAns(1,n, k, new ArrayList<Integer>(), ans);
     return ans;
 }
 ​
 private void getAns(int start, int n, int k, ArrayList<Integer> temp,List<List<Integer>> ans) {
     //如果 temp 里的数字够了 k 个，就把它加入到结果中
     if(temp.size() == k){
         ans.add(new ArrayList<Integer>(temp));
         return;
     }
     //从 start 到 n
     for (int i = start; i <= n; i++) {
         //将当前数字加入 temp
         temp.add(i);
         //进入递归
         getAns(i+1, n, k, temp, ans);
         //将当前数字删除，进入下次 for 循环
         temp.remove(temp.size() - 1);
     }
 }
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一个 for 循环，添加，递归，删除，很经典的回溯框架了。在这里发现了一个优化方法。for 循环里 i 从 start 到 n，其实没必要到 n。比如，n = 5，k = 4，temp.size( ) == 1，此时代表我们还需要（4 - 1 = 3）个数字，如果 i = 4 的话，以后最多把 4 和 5 加入到 temp 中，而此时 temp.size() 才等于 1 + 2 = 3，不够 4 个，所以 i 没必要等于 4，i 循环到 3 就足够了。

所以 for 循环的结束条件可以改成， i <= n - ( k - temp.size ( ) ) + 1，k - temp.size ( ) 代表我们还需要的数字个数。因为我们最后取到了 n，所以还要加 1。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
     getAns(1,n, k, new ArrayList<Integer>(), ans);
     return ans;
 }
 ​
 private void getAns(int start, int n, int k, ArrayList<Integer> temp, List<List<Integer>> ans) { 
     if(temp.size() == k){
         ans.add(new ArrayList<Integer>(temp));
         return;
     }
     for (int i = start; i <= n - (k -temp.size()) + 1; i++) {
         temp.add(i);
         getAns(i+1, n, k, temp, ans);
         temp.remove(temp.size() - 1);
     }
 }
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虽然只改了一句代码，速度却快了很多。

解法二 迭代

参考这里，完全按照解法一回溯的思想改成迭代。我们思考一下，回溯其实有三个过程。

  • for 循环结束，也就是 i == n + 1，然后回到上一层的 for 循环
  • temp.size() == k，也就是所需要的数字够了，然后把它加入到结果中。
  • 每个 for 循环里边，进入递归，添加下一个数字
 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
     List<Integer> temp = new ArrayList<>();
     for(int i = 0;i<k;i++){
         temp.add(0);
     }
     int i = 0;
     while (i >= 0) {
         temp.set(i, temp.get(i)+ 1); //当前数字加 1
         //当前数字大于 n，对应回溯法的 i == n + 1，然后回到上一层
         if (temp.get(i) > n) {
             i--;
         // 当前数字个数够了
         } else if (i == k - 1) { 
             ans.add(new ArrayList<>(temp));
         //进入更新下一个数字
         }else {
             i++;
             //把下一个数字置为上一个数字，类似于回溯法中的 start
             temp.set(i, temp.get(i-1));
         }
     }
     return ans;
 }
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解法三 迭代法2

解法二的迭代法是基于回溯的思想，还有一种思想，参考这里。类似于46题的解法一，找 k 个数，我们可以先找出 1 个的所有结果，然后在 1 个的所有结果再添加 1 个数，变成 2 个，然后依次迭代，直到有 k 个数。

比如 n = 5， k = 3

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第 1 次循环，我们找出所有 1 个数的可能 [ 1 ]，[ 2 ]，[ 3 ]。4 和 5 不可能，解法一分析过了，因为总共需要 3 个数，4，5 全加上才 2 个数。

第 2 次循环，在每个 list 添加 1 个数， [ 1 ] 扩展为 [ 1 , 2 ]，[ 1 , 3 ]，[ 1 , 4 ]。[ 1 , 5 ] 不可能，因为 5 后边没有数字了。 [ 2 ] 扩展为 [ 2 , 3 ]，[ 2 , 4 ]。[ 3 ] 扩展为 [ 3 , 4 ]；

第 3 次循环，在每个 list 添加 1 个数， [ 1，2 ] 扩展为[ 1，2，3]， [ 1，2，4]， [ 1，2，5]；[ 1，3 ] 扩展为 [ 1，3，4]， [ 1，3，5]；[ 1，4 ] 扩展为 [ 1，4，5]；[ 2，3 ] 扩展为 [ 2，3，4]， [ 2，3，5]；[ 2，4 ] 扩展为 [ 2，4，5]；[ 3，4 ] 扩展为 [ 3，4，5]；

最后结果就是，[[ 1，2，3]， [ 1，2，4]， [ 1，2，5]，[ 1，3，4]， [ 1，3，5]， [ 1，4，5]， [ 2，3，4]， [ 2，3，5]，[ 2，4，5]， [ 3，4，5]]。

上边分析很明显了，三个循环，第一层循环是 1 到 k ，代表当前有多少个数。第二层循环就是遍历之前的所有结果。第三次循环就是将当前结果扩展为多个。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     if (n == 0 || k == 0 || k > n) return Collections.emptyList();
     List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
     //个数为 1 的所有可能
     for (int i = 1; i <= n + 1 - k; i++) res.add(Arrays.asList(i));
     //第一层循环，从 2 到 k
     for (int i = 2; i <= k; i++) {
         List<List<Integer>> tmp = new ArrayList<List<Integer>>();
         //第二层循环，遍历之前所有的结果
         for (List<Integer> list : res) {
             //第三次循环，对每个结果进行扩展
             //从最后一个元素加 1 开始，然后不是到 n ，而是和解法一的优化一样
             //(k - (i - 1） 代表当前已经有的个数，最后再加 1 是因为取了 n
             for (int m = list.get(list.size() - 1) + 1; m <= n - (k - (i - 1)) + 1; m++) {
                 List<Integer> newList = new ArrayList<Integer>(list);
                 newList.add(m);
                 tmp.add(newList);
             }
         }
         res = tmp;
     }
     return res;
 }
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解法四 递归

参考这里。基于这个公式 C ( n, k ) = C ( n - 1, k - 1) + C ( n - 1, k ) 所用的思想，这个思想之前刷题也用过，但忘记是哪道了。

从 n 个数字选 k 个，我们把所有结果分为两种，包含第 n 个数和不包含第 n 个数。这样的话，就可以把问题转换成

  • 从 n - 1 里边选 k - 1 个，然后每个结果加上 n
  • 从 n - 1 个里边直接选 k 个。

把上边两个的结果合起来就可以了。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     if (k == n || k == 0) {
         List<Integer> row = new LinkedList<>();
         for (int i = 1; i <= k; ++i) {
             row.add(i);
         }
         return new LinkedList<>(Arrays.asList(row));
     }
     // n - 1 里边选 k - 1 个
     List<List<Integer>> result = combine(n - 1, k - 1);
     //每个结果加上 n
     result.forEach(e -> e.add(n));
     //把 n - 1 个选 k 个的结果也加入
     result.addAll(combine(n - 1, k));
     return result;
 }
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解法五 动态规划

参考这里，既然有了解法四的递归，那么一定可以有动态规划。递归就是压栈压栈压栈，然后到了递归出口，开始出栈出栈出栈。而动态规划一个好处就是省略了出栈的过程，我们直接从递归出口网上走。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { 
     List<List<Integer>>[][] dp = new List[n + 1][k + 1];
     //更新 k = 0 的所有情况
     for (int i = 0; i <= n; i++) {
         dp[i][0] = new ArrayList<>();
         dp[i][0].add(new ArrayList<Integer>());
     }
     // i 从 1 到 n
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
         // j 从 1 到 i 或者 k
         for (int j = 1; j <= i && j <= k; j++) { 
             dp[i][j] = new ArrayList<>();
             //判断是否可以从 i - 1 里边选 j 个
             if (i > j){
                 dp[i][j].addAll(dp[i - 1][j]);
             } 
             //把 i - 1 里边选 j - 1 个的每个结果加上 i
             for (List<Integer> list: dp[i - 1][j - 1]) {
                 List<Integer> tmpList = new ArrayList<>(list);
                 tmpList.add(i);
                 dp[i][j].add(tmpList);
             } 
         }
     }
     return dp[n][k];
 }
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这里遇到个神奇的问题，提一下，开始的的时候，最里边的 for 循环是这样写的

 for (List<Integer> list: dp[i - 1][j - 1]) {
     List<Integer> tmpList = new LinkedList<>(list);
     tmpList.add(i);
     dp[i][j].add(tmpList);
 }
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就是 List 用的 Linked，而不是 Array，看起来没什么大问题，在 leetcode 上竟然报了超时。看了下 java 的源码。

 //ArrayList
 public boolean add(E e) {
     ensureCapacityInternal(size + 1);  // Increments modCount!!
     elementData[size++] = e;
     return true;
 }
 //LinkedList
 public boolean add(E e) {
     linkLast(e);
     return true;
 }
 void linkLast(E e) {
     final Node<E> l = last;
     final Node<E> newNode = new Node<>(l, e, null);
     last = newNode;
     if (l == null)
         first = newNode;
     else
         l.next = newNode;
     size++;
     modCount++;
 }
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猜测原因可能是因为 linked 每次 add 的时候，都需要 new 一个节点对象，而我们进行了很多次 add，所以这里造成了时间的耗费，导致了超时。所以刷题的时候还是优先用 ArrayList 吧。

接下来就是动态规划的常规操作了，空间复杂度的优化，我们注意到更新 dp [ i ] [ * ] 的时候，只用到dp [ i - 1 ] [ * ] 的情况，所以我们可以只用一个一维数组就够了。和72题解法二，以及5题，10题，53题等等优化思路一样，这里不详细说了。

 public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
     List<List<Integer>>[] dp = new ArrayList[k + 1]; 
     // i 从 1 到 n
     dp[0] = new ArrayList<>();
     dp[0].add(new ArrayList<Integer>());
     for (int i = 1; i <= n; i++) {
         // j 从 1 到 i 或者 k
         List<List<Integer>> temp = new ArrayList<>(dp[0]);
         for (int j = 1; j <= i && j <= k; j++) {
             List<List<Integer>> last = temp;
             if(dp[j]!=null){ 
                 temp = new ArrayList<>(dp[j]);
             } 
             // 判断是否可以从 i - 1 里边选 j 个
             if (i <= j) {
                 dp[j] = new ArrayList<>();
             }
             // 把 i - 1 里边选 j - 1 个的每个结果加上 i
             for (List<Integer> list : last) {
                 List<Integer> tmpList = new ArrayList<>(list);
                 tmpList.add(i);
                 dp[j].add(tmpList);
             }
         }
     }
     return dp[k];
 }
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总结

开始的时候直接用了动态规划，然后翻了一些 Discuss 感觉发现了新世界，把目前为止常用的思路都用到了，回溯，递归，迭代，动态规划，这道题也太经典了！值得细细回味。

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