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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

 

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

输出：3

解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3

输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0

输出：0

思路：

• 先确定状态，也就是原问题和子问题中变化的变量，由于硬币数量可以无限，所以唯一确定的状态就是目标金额amount。
• 然后确定dp函数的定义，当前的目标金额是n，至少需要dp(n)个硬币凑出该金额。
• 确定选择并择优，无论当前的目标金额是多少，选择就是从面额列表coins中选则一个硬币，然后目标金额就会减少。
• 最后明确递归的终止条件，显然目标金额为0时，所需硬币数量为0，而当目标金额小于0时，无解。在动态规划中体现为子问题无解，跳过该次内层循环。

代码如下：

fun coinChange(coins: IntArray, amount: Int): Int {
    val max = amount + 1
    val dp = IntArray(amount + 1)
    Arrays.fill(dp, max)
    dp[0] = 0
    for (i in 1..amount) {
        for (j in coins.indices) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = dp[i].coerceAtMost(dp[i - coins[j]] + 1)
            }
        }
    }
    return if (dp[amount] > amount) -1 else dp[amount]
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(Sn)，其中 S 是金额，n 是面额数。我们一共需要计算 O(S) 个状态，S 为题目所给的总金额。对于每个状态，每次需要枚举 n 个面额来转移状态，所以一共需要 O(Sn)) 的时间复杂度。
• 空间复杂度：O(S)。数组 dp 需要开长度为总金额 S 的空间。