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一阶逻辑等值
什么是一阶逻辑等值？ 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A<——>B是永真式，则称A与B是等值的。记做A<=>B，称A<=>B是等值式。谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。 在学习中我们也会了解到，一些关于一阶逻辑中的等值式定理。
（1）量词否定等值式
¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)
¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
（2）量词辖域收缩与扩张等值式
假设 B 是公式 , B 中不含有 x ( 前提很重要 ) ;
1)∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
2)∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
3)∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
4)∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
注意：谓词B不含约束变元，因此量化x的辖域无法约束B（对B没有实质影响）。即B在不在辖域（括号）内都一样。
5)∀xA(x)→B⇔∃x(A(x)→B)
6)∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)
在这个定理中有一些不好理解，如证5)时，第一步先将∀xA(x)视为前件p,B视为后件q，进行等价转换为析取式，再进一步推导。
设个体域为囚犯，A(x):x呆在牢房，B:牢门被开。 每个囚犯都有开门的权利。
那么5)左式∀xA(x)→B翻译为
“若把所有囚徒都在牢房，那么牢门被开” 描述的是一个现象，潜台词是这所有囚犯中肯定有会开锁的； 而右式∃x(A(x)→B)翻译为 “有这么个囚犯，把他关进去，牢门就开了”
同样地，6)左式∃xA(x)→B翻译为
“只要存在囚犯呆在牢房里，那么牢门被开” ，
描述的是一个现象，潜台词这批囚犯各个都能开锁；
而∀x(A(x)→B)翻译为
“对于所有的囚犯个体，住进牢房就意味着牢门打开”
其实就是所有囚犯都会开锁。
7)B→∀xA(x)⇔∀x(B→A(x))
8)B→∃xA(x)⇔∃x(B→A(x))
（3）量词分配等值式
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
以上就是关于一阶逻辑等式的学习。
