最大流与最小割

dariusorz
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流网络

一个流网络首先是一个有向图 G=(V,E)G=(V,E)，流网络的每条边 (u,v)∈E(u,v)\in E 都有一个容量 c(u,v)c(u,v)，当 (u,v)∉E(u,v)\notin E 时 c(u,v)=0c(u,v)=0；流网络中都有一个源点 s∈Vs\in V 和一个汇点 t∈Vt\in V，且 s≠ts\ne t.

可行流

设 f(u,v)f(u,v) 定义在二元组 (u∈V,v∈V)(u\in V,v\in V) 上的实值函数，且满足

  • 容量限制：0≤f(u,v)≤c(u,v)0\leq f(u,v)\leq c(u,v)\qquad（当 (u,v)∉E(u,v)\notin E 时，f(u,v)=0f(u,v)=0.）
  • 流量守恒：∀x∈V−{s,t},∑v∈Vf(v,x)=∑v∈Vf(x,v)\forall x\in V-\{s,t\},\sum_{v\in V}f(v,x)=\sum_{v\in V} f(x,v)

f(u,v)f(u,v) 表示从结点 uu 到结点 vv 的流， 一个流 ff 的值定义为 ∣f∣=∑v∈Vf(s,v)−∑v∈Vf(v,s)|f|=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s).

最大流 问题指给定一个流网络 GG，一个源点 ss，一个汇点 tt，找到值 最大 的一个流。

残留网络

对于流网络 G=(V,E)G=(V,E) 中的一个可行流 ff，残留网络 Gf=(Vf,Ef)G_f=(V_f,E_f)，其中 Vf=VV_f=V，EfE_f 包括 EE 和 EE 中所有边的反向边，残留网络中边的容量为

cf(u,v)={c(u,v)−f(u,v)(u,v)∈Ef(v,u)(v,u)∈E0elsec_{f}(u,v)=\left\{\begin{array}{ll}c(u,v)- f(u,v) & (u,v)\in E\\ f(v,u) & (v,u)\in E\\ 0 & \text{else} \end{array}\right.

如果 ff 是 GG 中的一个可行流，f′f^{\prime} 是对应的残留网络 GfG_f 中的一个可行流，定义 f↑f′f\uparrow f^{\prime} 为流 f′f^{\prime} 对流 ff 的递增

(f↑f′)(u,v)=f(u,v)+f′(u,v)−f′(v,u)(u,v)∈E(f\uparrow f^{\prime})(u,v)=f(u,v)+f^{\prime}(u,v)-f^{\prime}(v,u)\qquad (u,v)\in E

其他情况下 (f↑f′)(u,v)=0(f\uparrow f^{\prime})(u,v)=0，首先，我们证明 f↑f′f\uparrow f^{\prime} 是 GG 中的一个可行流。

对于容量限制，注意到，如果边 (u,v)∈E(u,v)\in E，则 f′(v,u)≤cf(v,u)=f(u,v)f^{\prime}(v,u)\leq c_{f}(v,u)=f(u,v)，则有

(f↑f′)(u,v)=f(u,v)+f′(u,v)−f′(v,u)≥f(u,v)+f′(u,v)−f(u,v)=f′(u,v)≥0 (f↑f′)(u,v)=f(u,v)+f′(u,v)−f′(v,u)≤f(u,v)+f′(u,v)≤f(u,v)+cf(u,v)=f(u,v)+c(u,v)−f(u,v)=c(u,v)\begin{aligned} (f\uparrow f^{\prime})(u,v)&=f(u,v)+f^{\prime}(u,v)-f^{\prime}(v,u)\\ &\geq f(u,v)+f^{\prime}(u,v)-f(u,v)\\ &=f^{\prime}(u,v)\geq 0 \end{aligned}\\ \, \\ \begin{aligned} (f\uparrow f^{\prime})(u,v)&=f(u,v)+f^{\prime}(u,v)-f^{\prime}(v,u)\\ &\leq f(u,v)+f^{\prime}(u,v)\\ &\leq f(u,v)+c_{f}(u,v)\\ &=f(u,v)+c(u,v)-f(u,v)\\ &=c(u,v) \end{aligned}

对于流量守恒，因为 ff 和 f′f^{\prime} 都满足流量守恒，对于任意的结点 x∈V−{s,t}x\in V- \{s,t\}，有

∑v∈V(f↑f′)(x,v)=∑v∈V(f(x,v)+f′(x,v)−f′(v,x))=∑v∈Vf(x,v)+∑v∈Vf′(x,v)−∑v∈Vf′(v,x)=∑v∈Vf(v,x)+∑v∈Vf′(v,x)−∑v∈Vf′(x,v)=∑v∈V(f(v,x)+f′(v,x)−f′(x,v))=∑v∈V(f↑f′)(v,x)\begin{aligned} \sum_{v\in V}(f\uparrow f^{\prime})(x,v)&=\sum_{v\in V}\Big( f(x,v) + f^{\prime}(x,v) - f^{\prime}(v,x) \Big)\\ &=\sum_{v\in V}f(x,v) + \sum_{v\in V} f^{\prime}(x,v) - \sum_{v\in V} f^{\prime}(v,x) \\ &=\sum_{v\in V}f(v,x) + \sum_{v\in V} f^{\prime}(v,x) - \sum_{v\in V} f^{\prime}(x,v) \\ &=\sum_{v\in V}\Big( f(v,x) + f^{\prime}(v,x) - f^{\prime}(x,v) \Big)\\ &=\sum_{v\in V}(f\uparrow f^{\prime})(v,x) \end{aligned}

然后，我们来计算可行流 f↑f′f\uparrow f^{\prime} 的值。定义 V1={v∣(s,v)∈E}, V2={v∣(v,s)∈E}V_1=\{v|(s,v)\in E\},\,V_2=\{v|(v,s)\in E\}，那么显然有 V1∪V2⊆V, V1∩V2=∅V_1 \cup V_2 \subseteq V,\, V_1 \cap V_2=\varnothing，则有

∣f↑f′∣=∑v∈V(f↑f′)(s,v)−∑v∈V(f↑f′)(v,s)=∑v∈V1(f↑f′)(s,v)−∑v∈V2(f↑f′)(v,s)|f\uparrow f ^{\prime}|=\sum_{v\in V}(f\uparrow f ^{\prime})(s,v)-\sum_{v\in V}(f\uparrow f ^{\prime})(v,s)=\sum_{v\in V_1}(f\uparrow f ^{\prime})(s,v)-\sum_{v\in V_2}(f\uparrow f ^{\prime})(v,s)

代入 f↑f′f\uparrow f^{\prime} 的定义，可以得到

∣f↑f′∣=∑v∈V1(f(s,v)+f′(s,v)−f′(v,s))−∑v∈V2(f(v,s)+f′(v,s)−f′(s,v))=∑v∈V1f(s,v)+∑v∈V1f′(s,v)−∑v∈V1f′(v,s)−∑v∈V2f(v,s)−∑v∈V2f′(v,s)+∑v∈V2f′(s,v)=∑v∈V1f(s,v)−∑v∈V2f(v,s)+(∑v∈V1f′(s,v)+∑v∈V2f′(s,v))−(∑v∈V1f′(v,s)+∑v∈V2f′(v,s))=∑v∈V1f(s,v)−∑v∈V2f(v,s)+∑v∈V1∪V2f′(s,v)−∑v∈V1∪V2f′(v,s)=∑v∈Vf(s,v)−∑v∈Vf(v,s)+∑v∈Vf′(s,v)−∑v∈Vf′(v,s)=∣f∣+∣f′∣\begin{aligned} |f\uparrow f ^{\prime}|&=\sum_{v\in V_1}\Big( f(s,v) + f^{\prime}(s,v) - f^{\prime}(v,s) \Big)-\sum_{v\in V_2}\Big( f(v,s) + f^{\prime}(v,s) - f^{\prime}(s,v) \Big)\\ &=\sum_{v\in V_1} f(s,v) + \sum_{v\in V_1} f^{\prime}(s,v) - \sum_{v\in V_1} f^{\prime}(v,s) -\sum_{v\in V_2} f(v,s) - \sum_{v\in V_2} f^{\prime}(v,s) +\sum_{v\in V_2} f^{\prime}(s,v) \\ &=\sum_{v\in V_1} f(s,v) -\sum_{v\in V_2} f(v,s)+\left(\sum_{v\in V_1} f^{\prime}(s,v)+\sum_{v\in V_2} f^{\prime}(s,v)\right) \\&\quad - \left( \sum_{v\in V_1} f^{\prime}(v,s)+ \sum_{v\in V_2} f^{\prime}(v,s) \right) \\ &= \sum_{v\in V_1} f(s,v) -\sum_{v\in V_2} f(v,s)+\sum_{v\in V_1 \cup V_2} f^{\prime}(s,v) - \sum_{v\in V_1\cup V_2} f^{\prime}(v,s)\\ &= \sum_{v\in V} f(s,v) -\sum_{v\in V} f(v,s)+\sum_{v\in V} f^{\prime}(s,v) - \sum_{v\in V} f^{\prime}(v,s)=|f|+|f^{\prime}| \end{aligned}

注意到，最后将求和项的求和范围都扩展到 VV，这是因为其他项的值均为 00.（边不属于 EE 或 EfE_f）

增广路径

给定流网络 G=(V,E)G=(V,E) 和可行流 ff，在残留网络 GfG_f 中，从源点 ss 出发，沿着容量 大于 00 的边，如果能够走到汇点 tt，那么这条路径 pp 就称为增广路径。增广路径 pp 的 残留容量 定义为 pp 上能够为每条边增加的流量的最大值，表达式为

cf(p)=min⁡{cf(u,v)∣(u,v)∈p}c_f(p)=\min \{c_f(u,v)|(u,v)\in p\}

对于 GfG_f 中的增广路径 pp，定义流 fpf_p 表示一个对流 ff 的可行增量，使其更接近最大流

fp(u,v)=cf(p)(u,v)∈pf_p(u,v) = c_f(p) \qquad (u,v)\in p

其他情况下 fp(u,v)=0f_p(u,v)=0，显然，fpf_p 是残留网络 GfG_f 的一个可行流，且 ∣fp∣=cf(p)>0|f_p|=c_f(p)>0.

割

流网络 G=(V,E)G=(V,E) 中的一个割 (S,T)(S,T) 将结点集 VV 划分为 SS 和 T=V−ST=V-S 两个集合，使得 s∈S, t∈Ts\in S,\, t\in T，则显然有 S∪T=V, S∩T=∅S\cup T = V,\, S\cap T=\varnothing，割 (S,T)(S,T) 的容量 定义为

c(S,T)=∑u∈S∑v∈Tc(u,v)c(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)

割 (S,T)(S,T) 的流量 定义为

f(S,T)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)−∑u∈S∑v∈Tf(v,u)f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) - \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)

最小割 问题指给定一个流网络 GG，一个源点 ss，一个汇点 tt，找到值 最小 的一个割。

流与割的关系

给定一个流网络 G=(V,E)G=(V,E)，一个源点 ss，一个汇点 tt；首先我们需要证明，对于流网络 GG 中的一个可行流 ff，对于流网络 GG 的任意的割 (S,T)(S,T)，都有 f(S,T)=∣f∣f(S,T)=|f|.

根据割的流量的定义式，对于互斥的任意结点集 X,Y,ZX,Y,Z，显然有 f(X,Y)=−f(Y,X), f(X,X)=0f(X,Y)=-f(Y,X),\,f(X,X)=0，

f(Z,X∪Y)=∑u∈Z∑v∈X∪Yf(u,v)−∑u∈Z∑v∈X∪Yf(v,u)=∑u∈Z(∑v∈Xf(u,v)+∑v∈Yf(u,v))−∑u∈Z(∑v∈Xf(v,u)+∑v∈Yf(v,u))=∑u∈Z∑v∈Xf(u,v)−∑u∈Z∑v∈Xf(v,u)+∑u∈Z∑v∈Yf(u,v)−∑u∈Z∑v∈Yf(v,u)=f(Z,X)+f(Z,Y)\begin{aligned} f(Z,X\cup Y)&= \sum_{u\in Z}\sum_{v\in X\cup Y}f(u,v) - \sum_{u\in Z}\sum_{v\in X\cup Y}f(v,u)\\ &= \sum_{u\in Z}\left(\sum_{v\in X}f(u,v) + \sum_{v\in Y}f(u,v)\right) - \sum_{u\in Z}\left(\sum_{v\in X}f(v,u) + \sum_{v\in Y}f(v,u)\right)\\ &=\sum_{u\in Z}\sum_{v\in X}f(u,v) - \sum_{u\in Z}\sum_{v\in X}f(v,u) + \sum_{u\in Z}\sum_{v\in Y}f(u,v) - \sum_{u\in Z}\sum_{v\in Y}f(v,u)\\ &= f(Z,X)+f(Z,Y) \end{aligned}

由于 S∪T=V, S∩T=∅S\cup T = V,\, S\cap T=\varnothing，则有

f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)f(S,T)=f(S,V)−f(S,S)=f(S,V)=f({s},V)+f(S−{s},V)\begin{aligned} f(S,V) &= f(S,S)+f(S,T)\\ f(S,T) &= f(S,V) - f(S,S)\\ &=f(S,V)\\ &=f(\{s\},V)+f(S-\{s\},V) \end{aligned}

由于 SS 中首先没有汇点 tt，则 S−{s}S-\{s\} 不包含源点和汇点，流量守恒，则有

f(S−{s},V)=∑u∈S−{s}∑v∈Vf(u,v)−∑u∈S−{s}∑v∈Vf(v,u)=∑u∈S−{s}(∑v∈Vf(u,v)−∑v∈Vf(v,u))=0\begin{aligned} f(S-\{s\},V)&=\sum_{u\in S-\{s\}}\sum_{v\in V} f(u,v) - \sum_{u\in S-\{s\}}\sum_{v\in V} f(v,u)\\ &=\sum_{u\in S-\{s\}}\left(\sum_{v\in V}f(u,v)-\sum_{v\in V} f(v,u)\right)=0 \end{aligned}

所以有 f(S,T)=f({s},V)=∑v∈Vf(s,v)−∑v∈Vf(v,s)=∣f∣f(S,T)=f(\{s\},V)=\sum_{v\in V}f(s,v)-\sum_{v\in V}f(v,s)=|f|.

根据上述结论，我们可以容易地证明流网络 GG 中任意可行流 ff 的值 ∣f∣=f(S,T)|f|=f(S,T) 不超过 GG 中任意割 (S,T)(S,T) 的容量 c(S,T)c(S,T).

f(S,T)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)−∑u∈S∑v∈Tf(v,u)≤∑u∈S∑v∈Tf(u,v)≤∑u∈S∑v∈Tc(u,v)=c(S,T)f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) - \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)\leq \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) \leq \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v) = c(S,T)

最大流最小割定理

设 ff 是流网络 G=(V,E)G=(V,E) 的一个可行流，流网络 GG 的源点为 ss，汇点为 tt，则下列条件是等价的

  1. 可行流 ff 是流网络 GG 的一个最大流
  2. 可行流 ff 的残留网络 GfG_f 不存在增广路径
  3. 存在某个割 (S,T)(S,T) 使得 ∣f∣=c(S,T)|f|=c(S,T)

首先证明 1⇒21\Rightarrow 2，用反证法，假设 ff 是 GG 的一个最大流，残留网络 GfG_f 包含一条增广路径 pp，显然有 ∣fp∣>0|f_p|>0，则 ∣f+fp∣=∣f∣+∣fp∣>∣f∣|f+f_p|=|f|+|f_p|>|f|，这与 ff 是最大流矛盾。

证明 2⇒32\Rightarrow 3，定义集合 SS 表示在残留网络 GfG_f 中，从源点 ss 出发，沿着容量大于 00 的边走，所有能走到的结点的集合；集合 T=V−ST=V-S，显然 s∈Ss\in S，由于 GfG_f 不存在增广路径，t∉St\notin S，则 t∈Tt\in T，所以 (S,T)(S,T) 是流网络 GG 的一个割。

考虑一对结点 u∈S, v∈Tu\in S,\, v\in T；如果 (u,v)∈E(u,v)\in E，则有 f(u,v)=c(u,v)f(u,v)=c(u,v)；因为如果 f(u,v)<c(u,v)f(u,v)<c(u,v)，在 GfG_f 中，cf(u,v)=c(u,v)−f(u,v)>0c_f(u,v)=c(u,v)-f(u,v)>0，则结点 vv 应当属于 SS，矛盾。

如果 (v,u)∈E(v,u)\in E，则有 f(v,u)=0f(v,u)=0；若 f(v,u)>0f(v,u)>0，在 GfG_f 中，cf(u,v)=f(v,u)>0c_f(u,v)=f(v,u)>0，则 vv 应属于 SS，矛盾。

对于 (u,v)∉E(u,v)\notin E 并且 (v,u)∉E(v,u)\notin E 的情况，显然有 f(u,v)=f(v,u)=0f(u,v)=f(v,u)=0，则有

∣f∣=f(S,T)=∑u∈S∑v∈Tf(u,v)−∑u∈S∑v∈Tf(v,u)=∑u∈S∑v∈Tc(u,v)=c(S,T)|f|=f(S,T)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(u,v) - \sum_{u\in S}\sum_{v\in T}f(v,u)=\sum_{u\in S}\sum_{v\in T}c(u,v)=c(S,T)

最后证明 3⇒13\Rightarrow 1，对于所有可行流 ff，对于所有的割 (S,T)(S,T)，都有 ∣f∣≤c(S,T)|f|\leq c(S,T)，因此，条件 ∣f∣=c(S,T)|f|=c(S,T) 蕴含了 ff 是一个最大流。（同时也说明了流网络的最大流的流量等于最小割的容量）

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