狄尔沃斯定理 —— Dilworth's Theorem

0x00 前置知识：

1、偏序关系

概述：

”偏序集合（英语：Partial order set，简写poset）是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。这个理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。“————百度百科

形式定义

设 $R$ 是集合 $A$ 上的一个二元关系，若 $R$ 满足：

Ⅰ自反性：对任意 $x\in A$ ，有 $xRx$ ；

Ⅱ反对称性（即反对称关系）：对任意 $x$ ， $y\in A$ ，若 $xRy$ ，且 $yRx$ ，则 $x = y$ ；

Ⅲ传递性：对任意 $x$ ， $y$ ， $z\in A$ ，若 $xRy$ ，且 $yRz$ ，则 $xRz$ 。

则称 $R$ 为 $A$ 的偏序关系，通常记作 $\preccurlyeq$ 。注意这里的 $\preccurlyeq$ 不必是指一般意义上的”小于或等于“。

若然有 $x\preccurlyeq y$ ，我们也说 $x$ 排在 $y$ 前面 (x precedes y)

2、偏序集

概述：

……

若在集合 $A$ 上给定一个偏序关系 $\preccurlyeq$ ，则称集合 $A$ 按偏序关系 $\preccurlyeq$ 构成一个偏序集合，集合 $A$ 和偏序 $R$ 一起称为偏序集，记作< $a,\preccurlyeq$ >。

3、链和反链

概述：

设< $A$ >是一个偏序集合，在 $A$ 的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链。在 $A$ 的一个子集中，如果每两个元素都是无关系的，则称这个子集为反链。

我们约定，若 $A$ 的子集只有单个元素，则这个子集既是外链又是反链。

例如< $A$ >表示一个单位里所有工作人员的集合，表示领导关系，则< $A$ >为一偏序集，其中部分工作人员之间有领导关系的组成一个链。还有部分工作人员没有领导关系的组成一个反链。

0x01 狄尔沃斯定理 (Dilworth's Theorem)：

概述：

”狄尔沃斯定理（Dilworth's Theorem）亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中的元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目，有偏序集中 $P$ 按如下方式产生的图 $G$ 称为偏序集的可比图： $G$ 的节点集由 $P$ 的元素组成，而 $e$ 为 $G$ 中的边，仅当 $e$ 的两端点在 $P$ 中是可比较的，有限全序集的可比图为完全图“———百度百科

定理：对偏序集< $A, \preccurlyeq$ >，设 $A$ 中最长链的长度是 $n$ ，则将 $A$ 中元素分成不相交的反链，反链个数至少是 $n$ 。
证明：施归纳于 $n$ 。

当 $n = 1$ 时， $A$ 本身就是一条反链，定理结论成立。（这时 $\preccurlyeq$ 是恒等关系）。

假设对于 $n = k$ ，结论成立。考虑 $n = k + 1$ 的情况，当 $A$ 中最长链的长度为 $k + 1$ 时，令 $M$ 为 $A$ 中极大元的集合，显然 $M$ 是一条反链。而且 $A - M$ 中最长链的长度为 $k$ 。由归纳假设，可以把 $A - M$ 分成至少 $k$ 个不相交的反链，加上反链 $M$ ，则 $A$ 可分成至少 $K + 1$ 条反链。

0x02 写在最后：

在洛谷上做了一道题P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截用到该结论。