动态规划+二分搜索优化dp

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在使用动态规划解决问题的时候，有些时候需要我们去优化dp问题的时间复杂度，而二分是一种降低时间复杂度的好手段，一般可以使用其作为优化手段的一种伎俩

题目

1235. 规划兼职工作

你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱。

这里有 n 份兼职工作，每份工作预计从 startTime[i] 开始到 endTime[i] 结束，报酬为 profit[i]。

给你一份兼职工作表，包含开始时间 startTime，结束时间 endTime 和预计报酬 profit 三个数组，请你计算并返回可以获得的最大报酬。

注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行。

如果你选择的工作在时间 X 结束，那么你可以立刻进行在时间 X 开始的下一份工作。

例如：

思路

我们可以首先想到的一件事是贪心，把开始时间或者结束时间从小到大进行排序，然后对齐进行贪心的选取

可是这个问题涉及到了报酬这个概念，并非时间越长越好，有时候，报酬不一定高于其他值。

这个时候如何考虑这一件事情呢？

首先，我们将按照结束时间从小到大进行排序，然后，对于排序好的n个事件，若是我要做这一个事件。

则我至少需要把 这段时间空闲出来，也就是说，若是，形如这种 $f[x] = f[r] + v$

$f[x]$ 代表选取到当前事件的最大值，$f[r]$代表第r个事件的最大值。

显然，在第r个事件时，至少要满足r事件的结束时间早于x时间的开始时间即可满足。

可以得到方程式 $f[x] = min(f[x-1], f[r] + v)$

对于寻找 $f[r]$ 这一件事情，时间复杂度是$O(N)$的代价，但是，这一点，是可以优化掉的

可以采用二分去寻找小于当前开始时间的最后一个结束时间

最终的时间复杂度为$O(nlog_2n)$

代码

use std::cmp::{max, min};
impl Solution {
    pub fn job_scheduling(start_time: Vec<i32>, end_time: Vec<i32>, profit: Vec<i32>) -> i32 {
        let n = start_time.len();
        let mut f = vec![0; n + 1];
        fn upper(time: &Vec<(i32, i32, i32)>, val: i32) -> usize {
            let (mut l, mut r) = (0, time.len());
            while l < r {
                let mid = l + r >> 1;
                if time[mid].1 <= val {
                    l = mid + 1;
                } else {
                    r = mid;
                }
            }
            l
        }
        let mut pack: Vec<(i32, i32, i32)> = Vec::new();
        for i in 0..n {
            pack.push((start_time[i], end_time[i], profit[i]));
        }
        pack.sort_by(|x, y| x.1.cmp(&y.1));

        for i in 1..=n {
            f[i] = max(f[i - 1], f[upper(&pack, pack[i - 1].0)] + pack[i - 1].2);
        }

        f[n]
    }
}