夯实算法-40.新 21 点

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题目：LeetCode

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 k 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, maxPts] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 maxPts 是一个整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得 k 分 或更多分 时，她就停止抽取数字。

爱丽丝的分数不超过 n 的概率是多少？

与实际答案误差不超过 $10^-5$ 的答案将被视为正确答案。

示例 1：

输入： n = 10, k = 1, maxPts = 10
输出： 1.00000
解释： 爱丽丝得到一张牌，然后停止。

示例 2：

输入：n = 6, k = 1, maxPts = 10
输出：0.60000
解释：爱丽丝得到一张牌，然后停止。 在 10 种可能性中的 6 种情况下，她的得分不超过 6 分。

示例 3：

输入： n = 21, k = 17, maxPts = 10
输出： 0.73278

提示：

• $0 <= k <= n <= 10^4$
• $1 <= maxPts <= 10^4$

解题思路

设dp[i]表示转移到i的概率和，则我们可以轻易求得转移方程dp[i]=(dp[i-W]+dp[i-W+1]+....+dp[i-1])/W，乍一看感觉需要O(N*W)的复杂度，但是位置i只和前W个连续的状态有关，因此我们采用类似尺取求前缀和思想便能时刻更新前W个连续状态的值

• 当K分数小于N时 概率都为1
• 分数不超过N时才能概率1.0;可以达到的最大分数为 K+W-1
• 得分为i开始的概率递推式等于得分为i+1开始的概率-不超过N的概率
• i=0是从0开始的概率，即题目要求

代码实现

public double new21Game(int N, int K, int W) {
    if(K == 0) return 1.0;

    double[] dp = new double[K + W];
    for(int i = K; i <= N && i < K + W; i++){
        dp[i] = 1.0;
    }
    dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;  // 注意 * 1.0 作类型转换
    for(int i = K - 2; i >= 0; i--){
        dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + 1 + W] - dp[i + 1]) / W;
    }
    return dp[0];
}

运行结果

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

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