完全平方数

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入： n = 12
输出： 3 
解释： 12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入： n = 13
输出： 2
解释： 13 = 4 + 9

动态规划

定义数组dp[]，其中dp[i]表示的是当n等于i的时候完全平方数的最少数量。比如dp[12]表示当n等于12的时候完全平方数的最少数量。比如当n等于60的时候，他的值是dp[60]，但是60还可以由11加上7的平方组成，我们还可以改为dp[11]+1，取最小的即可，即dp[60]=min(dp[60],dp[11]+1)，我们的递推公式可以携程dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-j*j]+1)，初始条件为dp[i]=i。

代码如下：


fun numSquares(n: Int): Int {
    val dp = IntArray(n + 1)
    dp[0] = 0
    for (i in 1..n) {
        dp[i] = i 
        var j = 1
        while (j * j <= i) {
            dp[i] = dp[i].coerceAtMost(dp[i - j * j] + 1)
            j++
        }
    }
    return dp[n]
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n $\sqrt{n}$ )
空间复杂度：O(n)

除了动态规划之外，本题还可以使用四平方和定理解决。

四平方和定理：任意一个正整数至多可以被表示为四个正整数的平方和，即确定了本题的答案的上界。

代码如下：

fun numSquares(n: Int): Int {
    if (isPerfectSquare(n)) {
        return 1
    }
    if (checkAnswer4(n)) {
        return 4
    }
    var i = 1
    while (i * i <= n) {
        val j = n - i * i
        if (isPerfectSquare(j)) {
            return 2
        }
        ++i
    }
    return 3
}

fun isPerfectSquare(x: Int): Boolean {
    val y = Math.sqrt(x.toDouble()).toInt()
    return y * y == x
}

fun checkAnswer4(x1: Int): Boolean {
    var x = x1
    while (x % 4 == 0) {
        x /= 4
    }
    return x % 8 == 7
}

动态规划之完全平方数

完全平方数

动态规划

复杂度分析