All-Ukrainian School Olympiad in InformaticsE. Points(数学)

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题目

中文大意

输入一个n表示有n个点让我们求出所有点对之间距离的平方和

解法

由我们之前学过的知识可以知道$距离^2 = (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$所以为了求所有点对的方程我们就可以知道$res$=$\sum_i^n\sum_{j=i+1}^n(x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2$ 然后我们拆平方式就可以得到这样的一个公式$\sum_i^n\sum_{j=i+1}^nx_i^2+x_j^2 +y_i^2+y_j^2-2(x_ix_j+y_iy_j)$
我们再继续拆分就得到了$(n-1)*(x_i^2+x_j^2+y_i^2+y_j^2)-2\sum_i^n\sum_{j=i+1}^n(x_ix_j+y_iy_j)$然后我们对这个式子进行分析我们就可以发现对于每一个有$x_i$参与的式子的值是$x_i*\sum_{j=1+1}^nx_j$所有对于这个式子我们用一个前缀和去处理即可这样我们的答案就可以求出来了

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
using namespace std;
using ll = long long;
#define int long long
#define endl '\n'
#define pb push_back
#define NO cout << "NO" << endl;
#define YES cout << "YES" << endl;
#define fi first
#define se second
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i,n) for(int i = 1; i <= n; i++)
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 2e5 + 10;
int a[N],b[N];
int sa[N],sb[N];
void solve()
{
   int n; cin >> n;
   int res = 0;
   rep(i,n) {
      cin >> a[i] >> b[i];
      res += (a[i] * a[i] + b[i] * b[i] )* (n - 1);
   }
   for(int i = n; i >= 1; i--) sa[i] = sa[i + 1] + a[i];
   for(int i = n; i >= 1; i--) sb[i] = sb[i + 1] + b[i];
   rep(i,n) res -= 2*(a[i] * sa[i+1] + b[i] * sb[i+1]);
   cout << res << endl;   
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    // int T;cin >> T;
    // while ( T -- )
    solve();
    return 0;
}