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1. 题目与解析

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

输入： n = 13

输出： 6

输入： n = 0

输出： 0

这道题是数位DP的典型题目。

何为数位DP？

数位DP是指求小于等于数字n的所有非负整数中符合某个特征的数字的个数，这种题目都有两个特点：

需要遍历小于等于n的所有数字；
需要针对某个计数方式进行计数。

在进行此类题目的解答时，我们可以使用记忆化存储的模板来解题：

1 @cache
2 def f(i: int, mask: int, isLimit: bool, isNum: bool) -> int:
3     if i == len(s):
4         return `end_state`
5     res = 0
6     if not isNum:
7         res += f(i+1, mask, False, False)
8     up = int(s[i]) if isLimit else 9
9     for num in range(1 - int(isNum), up + 1):
10        res += f(i+1, mask+int(num == 1), isLimit and num == up, True)
11    return res

i：目前遍历到的位数；
mask：通过掩码的形式传递一个状态（计数或者是已经使用过的数字等等）；
isLinut：前i-1位是否与n相同；
isNum：前i-1位是否全都是前置0。
@cache是python装饰器，用于记忆化存储，其他语言可以使用一个二维dp数组进行记忆化存储；
第3-4行是模板的截止条件，即遍历过所有数字之后，返回截止值；
第6-7行是针对前几位都是前置0的情况，在第i位继续填写前置0进行遍历；
第8行是计算第i位能填写哪几个数字，有两种情况：
- 前i-1位与n都相同，这个时候我们只能填写[0|1, s[i]]之间的数字；
- 前i-1位与n不相同，这个时候我们只能填写[0|1, 9]之间的数字；
第9-10行是根据题意选择适合的计数方式。

2. 题解

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        s = str(n)

        @cache
        def f(i: int, mask: int, isLimit: bool, isNum: bool) -> int:
            if i == len(s):
                return mask
            res = 0
            if not isNum:
                res += f(i+1, mask, False, False)
            up = int(s[i]) if isLimit else 9
            for num in range(1 - int(isNum), up + 1):
                res += f(i+1, mask+int(num == 1), isLimit and num == up, True)
            return res

        return f(0, 0, True, False)

leetcode 233. 数字 1 的个数

1. 题目与解析

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