Codeforces Round #828 (Div. 3)E1 + E2. Divisible Numbers (数学+思维)

持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第17天，点击查看活动详情
本文已参与「新人创作礼」活动，一 起开启掘金创作之路。
题目E1
题目E2

中文大意

给我们$a,b,c,d$四个整数选择两个数$x,y$ $(a<x<=c,b<y<=d)$并且$(x*y)$%$(a*b)==0$E1和E2的差别就是a,b,c,d的范围不一样

E1解法

因为我们需要找到两个数$x,y$但是由于数据范围所以我们先固定一个数然后去找另一个数。
为了让$(x*y)$%$(a*b)==0$我们可以想到如果是$(n*S*m*M)$%$(a*b)==0$是最好的，并且$(a*b)$%$(S*M)==0$这样我们就可以知道$S*M$肯定是a*b的因数，所以这题我们就可以化简为一题求因数的题目。 所以在我们枚举x时我们找出$k = gcd(a*b,x)$这样其实我们就求出了一个S所以对于这个S我们也可以求出M，这样的话$M = a * b / k$这样就可以保证我们现在的$k*M$肯定是$a*b$的倍数所以这样我们现在就可以求出最小M的整数倍是否在题目要求的范围内即可

void solve()
{
   int a,b,c,d; cin >> a >> b >> c >> d;
   int k = a * b;
   for(int i = a + 1; i <= c;i++) {
       int m = __gcd(k,i);
       m = k / m;
       int j = d / m * m;
       if(j > b && j <= d) {
         cout << i << ' ' << j << endl;
         return;
       }
   }
   cout << -1 << ' ' << -1 << endl;   
}

E2解法

对于E2由于数的范围到了$1e9$所以如果我们直接遍历的话是会超时的所有我们需要换一种写法。通过E1我们推导出了几个式子中得知我们可以先求出$a*b$的因子然后我们可以先求出$n*m$的最小整数倍然后求出$SM$的最小整数倍是否在数据范围内即可。但是我们发现如果是直接求$a*b$的因数我们是会超时的，因为a和b的数据范围都到了1e9，然后我们可以想到一个数字的因子数其实是很小的，这样我们可以先分别求出a和b的因子数遍历组合数a*b的所有因子数

   //先分别求出a,b的因子数
   int n = 0, m = 0;
   for(int i = 1; i * i <= a; i++) {
      if(a % i == 0) {
      x[++n] = i;
      if(i * i != a) x[++n] = a / i;         
   }
   }
   for(int i = 1; i * i <= b; i++) {
      if(b % i == 0) {
      y[++m] = i;
      if(i * i != b) y[++m] = b / i;         
      }

   }
   rep(i,n) rep(j,m) { //遍历组合出a*b的所有因子
      int t = x[i] * y[j]; // a*b的因子
      int k = a * b / t; //求出了 k = n * m 
      int l = ((a / t ) + 1)* t;//因为不可能等于本身所以加一
      int r = ((b / k ) + 1)* k;
      if(l > a && l <= c && r > b && r <= d) {
         cout << l << ' ' << r << endl;
         return;
      }
   }
   cout << -1 << ' ' << -1 << endl;