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70. 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例1

输入：n = 2 输出：2 解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例2

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

解题思路

思路一： 动态规划

1. 状态定义
定义dp[i] 表示爬到第i阶楼梯的方法数；
2. 状态转移方程
考虑剩最后一步可能是爬1阶， 也可能是爬2阶， 得出如下转移方程： $dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]$; 表示dp[i] 表示爬到第i阶楼梯的方法数是爬到第 i−1 阶的方法数和爬到第 x - 2阶的方法数的和。
3. 初始状态
从0阶爬到0阶我们可以看作只有一种方案， 即dp[0] = 0;
从0阶爬到1阶, 只能爬1阶， 即dp[1] = 0;
4. 遍历顺序
从递推公式看出，从前往后遍历即可；
5. 返回结果
返回dp[n]

实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    let dp = Array(n + 1).fill(0);
    dp[0] = 1, dp[1] = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }   
    return dp[n];
};

• 时间复杂度： O(n);
• 空间复杂度： O(n);

空间复杂度优化
由于dp[i] 只与 dp[i - 1]、dp[i - 2]相关， 所以我们可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)
实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    let p = 0, q = 0, r = 1; 
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        p = q; 
        q = r; 
        r = p + q;
    }   
    return r;
}; 

思路二： 数学公式

如果观察数学规律，可知本题是斐波那契数列，那么用斐波那契数列的公式即可解决问题，公式如下：

$F_n = 1/\sqrt{5}\Big[\Big(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^n-\Big(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)^n\Big]$

实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    const sqrt5 = Math.sqrt(5);
    const fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2,n + 1);
    return Math.round(fibn / sqrt5);
};

• 时间复杂度：$O(logn)$

参考资料

leetcode.cn/problems/cl…