概率论与数理统计

概率论复习

第一章 随机事件及其概率

1.1 随机试验、样本空间

知道随机试验为E，样本空间为S就行

1.2 随机事件

事件中的关系区分三个:互不相容/互斥、对立事件、独立事件

记住三个公式：
P ( A ˉ B ˉ ) = P ( A ∩ B ˉ ) = 1 − P ( A ∪ B ) P(\bar{A}\bar{B})=P(\bar{A\cap B}) =1-P(A\cup B) P(AˉBˉ)=P(A∩Bˉ)=1−P(A∪B)

P ( A B ˉ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A\bar{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB) P(ABˉ)=P(A−B)=P(A)−P(AB)

P ( A ˉ ∪ B ˉ ) = P ( A ∩ B ˉ ) = 1 − P ( A B ) P(\bar{A}\cup\bar{B})=P(\bar{A\cap B})=1-P(AB) P(Aˉ∪Bˉ)=P(A∩Bˉ)=1−P(AB)

1.3 随机事件的概率

随机事件的概率： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 0\leq P(A)\leq 1 0≤P(A)≤1

概论性质：
P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)
P ( ∅ ) = 0 P(\varnothing)=0 P(∅)=0
P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(AB)

1.4 古典概率模型

P ( A ) = N ( A ) N ( S ) P(A)=\frac{N(A)}{N(S)} P(A)=N(S)N(A)​

1.5 条件概率

P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(AB)​

乘法公式： P ( A B ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(A∣B)P(B)

全概率公式： P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + . . . + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n) P(A)=P(A∣B1​)P(B1​)+P(A∣B2​)P(B2​)+...+P(A∣Bn​)P(Bn​)

贝叶斯公式： P ( B i ∣ A ) = P ( A B i ) P ( A ) P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)} P(Bi​∣A)=P(A)P(ABi​)​

1.6 事件的独立性

两事件相互独立： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)

两事件互斥： A B = ∅ AB=\varnothing AB=∅

考点

三大考点：

1. 根据概率性质计算其他事件概率
2. 可等能概率模型/古典概率模型
3. 条件概率（三个公式）

第二章 随机变量及其分布（重点）

2.1 随机变量

定义：设随机试验的样本空间是S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。

2.2 离散型随机变量及其分布

离散型概率分布律： P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , 3 … P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,3… P{X=xk​}=pk​,k=1,2,3…

满足以下两个条件

P k ≥ 0 , k = 1 , 2 , 3... P_k \ge0,k=1,2,3... Pk​≥0,k=1,2,3...

∑ i = 1 n p k = 1 \sum_{i = 1}^{n}p_k=1 ∑i=1n​pk​=1

三种分布：二项分布，伯怒利分布(n=1)，泊松分布 ( X ∼ π ( λ ) ) (X\sim\pi(\lambda)) (X∼π(λ))

二项分布： P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k \left(1-p\right)^{n-k} P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k

伯怒利分布： P { X = k } = p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}=p^k \left(1-p\right)^{n-k} P{X=k}=pk(1−p)n−k

泊松分布： P { X = k } = λ k e − λ k ! P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} P{X=k}=k!λke−λ​

定理： n p = λ ( 常 数 ) np=\lambda(常数) np=λ(常数)当n很大p很小时，二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律

( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! \binom{n}{k}p^k \left(1-p\right)^{n-k} \approx\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} (kn​)pk(1−p)n−k≈k!λke−λ​

2.3 连续型随机变量及其概率密度

连续型概率密度函数： P { a ≤ X ≤ b } = ∫ a b f ( x ) d x P\{a\le X\le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx P{a≤X≤b}=∫ab​f(x)dx

满足以下三个条件：

f ( x ) ≥ 0 , − ∞ < x < ∞ f(x) \ge0,- \infty<x<\infty f(x)≥0,−∞<x<∞

∫ a b f ( x ) d x = 1 \int_{a}^{b}f(x)dx=1 ∫ab​f(x)dx=1

P { a ≤ X ≤ b } = ∫ a b f ( x ) d x P\{a\le X\le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx P{a≤X≤b}=∫ab​f(x)dx

三种分布：均匀分布 ( X ∼ U ( a , b ) ) (X\sim U(a,b)) (X∼U(a,b))，指数分布，正态分布/高斯分布 ( X ∼ N ( μ , σ 2 ) ) (X\sim N(\mu, \sigma^2)) (X∼N(μ,σ2))

均匀分布X的概率密度： f ( x ) = { 1 b − a a < x < b 0 ， 其 他 f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a<x<b \\ 0& ，其他 \end{cases} f(x)={b−a1​0​a<x<b，其他​

指数分布X的概率密度： f ( x ) = { 1 θ e − x / θ x > 0 0 ， 其 他 f(x) = \begin{cases} \frac{1}{ \theta}e^{-x/ \theta} & x>0 \\0 & ，其他 \end{cases} f(x)={θ1​e−x/θ0​x>0，其他​

正态分布X的概率密度： f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < ∞ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,- \infty<x< \infty f(x)=2π ​σ1​e2σ2−(x−μ)2​,−∞<x<∞

2.4 分布函数

P { a < X ≤ b } = P { X ≤ b } − P { X ≤ a } = F ( b ) − F ( a ) P\{a<X \le b\}=P\{X \le b\}-P\{X \le a\}=F(b)-F(a) P{a<X≤b}=P{X≤b}−P{X≤a}=F(b)−F(a)

离散型： F ( x ) = ∑ x k ≤ x p k F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k F(x)=∑xk​≤x​pk​

连续型： F ( x ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( x ) d x F(x)=P\{X\le x\}=\int_{- \infty}^{x}f(x)dx F(x)=P{X≤x}=∫−∞x​f(x)dx

2.5 二维随机变量

离散型随机变量(X,Y)的概率分布律/X，Y的联合分布律：

P { X = x i , Y = y j } = p i j , i , j = 1 , 2 , 3 … P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,3… P{X=xi​,Y=yj​}=pij​,i,j=1,2,3…

满足以下两个条件

P i j ≥ 0 , i , j = 1 , 2 , 3... P_{ij} \ge0,i,j=1,2,3... Pij​≥0,i,j=1,2,3...

∑ i = 1 ∞ ∑ j = 1 ∞ p i j = 1 \sum_{i = 1}^{\infty}\sum_{j = 1}^{\infty}p_{ij}=1 ∑i=1∞​∑j=1∞​pij​=1

连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数/X，Y的联合概率密度函数：

P { a ≤ X ≤ b } = ∫ a b f ( x ) d x P\{a\le X\le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx P{a≤X≤b}=∫ab​f(x)dx

满足以下三个条件：

f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \ge0 f(x,y)≥0

∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \int_{- \infty}^{+ \infty}\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dxdy=1 ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1

P { ( X , Y ∈ G ) } = ∫ ∫ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y \in G)\}={\int\int}_{G}f(x,y)dxdy P{(X,Y∈G)}=∫∫G​f(x,y)dxdy

2.6 边缘分布

离散型：

P { X = x i } = ∑ i = 1 n P { X = x i , Y = y i } , i = 1 , 2 , 3... P\{X=x_i\}=\sum_{i = 1}^{n}P\{X=x_i,Y=y_i\},i=1,2,3... P{X=xi​}=∑i=1n​P{X=xi​,Y=yi​},i=1,2,3...

P { Y = y i } = ∑ i = 1 n P { X = x i , Y = y i } , i = 1 , 2 , 3... P\{Y=y_i\}=\sum_{i = 1}^{n}P\{X=x_i,Y=y_i\},i=1,2,3... P{Y=yi​}=∑i=1n​P{X=xi​,Y=yi​},i=1,2,3...

连续型：

f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dy fX​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dy

f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f_Y(y)=\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dx fY​(y)=∫−∞+∞​f(x,y)dx

2.7 条件分布

离散型：

在 Y = y i Y=y_i Y=yi​ 条件下随机变量X的条件分布律

条件公式： P { X = x i ∣ Y = y i } = P { X = x i , Y = y i } P { Y = y i } , i = 1 , 2 , 3... P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}},i=1,2,3... P{X=xi​∣Y=yi​}=P{Y=yi​}P{X=xi​,Y=yi​}​,i=1,2,3...

乘法公式： P = { X = x i , Y = y i } = P { X = x i ∣ Y = y i } P { Y = y i } {P=\{X=x_i,Y=y_i\}}=P\{X=x_i|Y=y_i\}{P\{Y=y_i\}} P={X=xi​,Y=yi​}=P{X=xi​∣Y=yi​}P{Y=yi​}

连续型：

在 Y = y Y=y Y=y的条件下X的条件概率密度

条件公式： f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y​(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​

乘法公式： f ( x , y ) = f X ∣ Y ( x ∣ y ) f Y ( y ) f(x,y)=f_{X|Y}(x|y)f_Y(y) f(x,y)=fX∣Y​(x∣y)fY​(y)

2.8 相互独立的随机变量

已 知 f ( x , y ) ⟶ 判 断 X , Y 相 互 独 立 已知f(x,y)\longrightarrow 判断X,Y相互独立 已知f(x,y)⟶判断X,Y相互独立

离散型： P { X = X i , Y = Y i } = P { X = X i } P { Y = Y i } P\{X=X_i,Y=Y_i\}=P\{X=X_i\}P\{Y=Y_i\} P{X=Xi​,Y=Yi​}=P{X=Xi​}P{Y=Yi​}

连续型： f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX​(x)fY​(y)

2.9 随机变量函数的分布

考点

1. 连续型(离散型)求概率密度函数(分布律)里参数，并求概率；
2. 二维随机变量的联合、边缘、条件
3. 判断二维连续型或离散型)随机变量是否独立

第三章 随机变量的数字特征

3.1 数学期望

离散型： E ( X ) = ∑ i = 1 ∞ x k p k E(X)=\sum_{i = 1}^{\infty}x_kp_k E(X)=∑i=1∞​xk​pk​.

连续型： E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x E(X)=\int_{- \infty}^{ \infty}xf(x)dx E(X)=∫−∞∞​xf(x)dx

4个性质：

1. 设C是常数，则有 E ( C ) = C E(C)=C E(C)=C
2. 设C是常数，X是随机变量，则有 E ( C X ) = C E ( X ) E(CX)=CE(X) E(CX)=CE(X)
3. 设X,Y是两个任意的随机变量，则有 E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4. 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY)=E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

3.2 方差

D ( X ) = E [ { X − E ( X ) ] 2 } D(X)=E[\{X-E(X)]^2\} D(X)=E[{X−E(X)]2}

D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2

4个性质：

1. 设C是常数，则有 D ( C ) = 0 → P { X = C } = 1 D(C)=0 \rightarrow P\{X=C\}=1 D(C)=0→P{

   X=C}=1

2. 设C是常数，X是随机变量，则有
   D ( C X ) = C 2 D ( X ) D(CX)=C^2D(X) D(CX)=C2D(X)
   D ( X + C ) = D ( X ) D(X+C)=D(X) D(X+C)=D(X)

3. 设X,Y是两个任意的随机变量，则有 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 E { ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) } D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\} D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{

   (X−E(X))(Y−E(Y))}

4. 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

3.3 协方差与相关系数

协方差： C o v ( X , Y ) = E { ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) } Cov(X,Y)=E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\} Cov(X,Y)=E{(X−E(X))(Y−E(Y))}

相关系数： ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) , D ( X ) ≠ 0 , D ( Y ) ≠ 0 \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}},D(X)\neq 0,D(Y)\neq0 ρXY​=D(X) ​D(Y) ​Cov(X,Y)​,D(X)​=0,D(Y)​=0

3.4 随机变量的另几个数字特征

矩和中心矩：设X为随机变量，若 E ( X k ) , k = 1 , 2 , 3 … E(X^k),k=1,2,3… E(Xk),k=1,2,3…存在，称它为X的k阶原点矩或k阶矩，

若 E { [ X − E ( X ) ] 2 , k = 1 , 2 , 3... E\{[X-E(X)]^2,k=1,2,3... E{[X−E(X)]2,k=1,2,3...存在，称它为X的k阶中心矩

下分位数： F ( x α ) = ∫ − ∞ x α f ( x ) d x = a F(x_\alpha)=\int_{- \infty}^{x_\alpha}f(x)dx=a F(xα​)=∫−∞xα​​f(x)dx=a

上分位数： 1 − F ( x α ) = ∫ x α ∞ f ( x ) d x = a 1-F(x_\alpha)=\int_{x_\alpha}^{\infty}f(x)dx=a 1−F(xα​)=∫xα​∞​f(x)dx=a

中位数： F ( x 0.5 ) = F ( x 0.5 ) = ∫ x 0.5 ∞ f ( x ) d x = 0.5 F(x_{0.5})=F(x_{0.5})=\int_{x_{0.5}}^{\infty}f(x)dx=0.5 F(x0.5​)=F(x0.5​)=∫x0.5​∞​f(x)dx=0.5

分位数：对于任意整数 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0<\alpha<1) α(0<α<1),称满足条件

P { X < x α } ≤ α P\{X<x_\alpha\}\le \alpha P{X<xα​}≤α且 P { X ≤ α } ≥ α P\{X\le \alpha\} \ge \alpha P{X≤α}≥α的数 x α x_\alpha xα​为此分布的 α \alpha α分位数或下 α \alpha α分位数

3.5 切比雪夫不等式与大数定理

考点

连续型(离散型)数学期望、方差和协方差；(必考)

几种常见的E(X),D(X)

二项分布： { E ( X ) = n p D ( x ) = n p ( 1 − p ) \begin{cases} E(X)=np \\ D(x)=np(1-p) \end{cases} {E(X)=npD(x)=np(1−p)​

泊松分布： { E ( X ) = λ D ( x ) = λ \begin{cases} E(X)=\lambda \\ D(x)=\lambda \end{cases} {E(X)=λD(x)=λ​

均匀分布： { E ( X ) = a + b 2 D ( x ) = ( b − a ) 2 12 \begin{cases} E(X)=\frac{a+b}{2} \\ D(x)=\frac{(b-a)^2}{12} \end{cases} {E(X)=2a+b​D(x)=12(b−a)2​​

指数分布： { E ( X ) = θ D ( x ) = θ 2 \begin{cases} E(X)=\theta \\ D(x)=\theta^2 \end{cases} {E(X)=θD(x)=θ2​

正态分布： { E ( X ) = μ D ( x ) = σ 2 \begin{cases} E(X)= \mu \\ D(x)=\sigma^2 \end{cases} {E(X)=μD(x)=σ2​

第四章 正态分布

4.1 正态分布

设连续型随机变量X具有概率密度

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < ∞ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,- \infty<x< \infty f(x)=2π ​σ1​e2σ2−(x−μ)2​,−∞<x<∞

其中 μ ( − ∞ < μ < ∞ ) , σ ( σ > 0 ) \mu(- \infty<\mu<\infty),\sigma(\sigma>0) μ(−∞<μ<∞),σ(σ>0)为常数，则称X服从以 μ , σ \mu,\sigma μ,σ为参数的正态分布，正态分布又称高斯分布，记为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)

当 μ = 0 , σ = 1 \mu=0,\sigma=1 μ=0,σ=1时：N(0,1)称为X服从标准正态分布

设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0, 1) X∼N(0,1).对于任意整数 α ( 0 < α < 1 ) \alpha(0<\alpha<1) α(0<α<1)满足条件 P { X > z α } = ∫ z α ∞ φ ( x ) d x = α P\{X>z_\alpha\}=\int_{z_\alpha}^{\infty}\varphi(x)dx=\alpha P{X>zα​}=∫zα​∞​φ(x)dx=α的数 z α z_\alpha zα​就是标准正态分布的上 α \alpha α分位数
ϕ ( z α ) = 1 − P { X > z α } = 1 − α \phi(z_\alpha)=1-P\{X>z_\alpha\}=1-\alpha ϕ(zα​)=1−P{X>zα​}=1−α

设随机变量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则

Y = a X + b ∼ N ( a μ + b , ( a σ ) 2 ) Y=aX+b\sim N(a\mu+b, (a\sigma)^2) Y=aX+b∼N(aμ+b,(aσ)2),其中 a ( a ≠ 0 ) a(a\ne0) a(a​=0),b为常数

Y = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) Y=σX−μ​∼N(0,1)

4.2 正态随机变量的线性组合

设随机变量 Y 1 ∼ N ( 0 , σ 2 ) Y_1 \sim N( 0,\sigma^2) Y1​∼N(0,σ2) , Y 2 ∼ N ( 0 , 1 ) , 且 Y 1 , Y 2 相 互 独 立 ， 则 Y_2 \sim N( 0,1),且Y_1,Y_2相互独立，则 Y2​∼N(0,1),且Y1​,Y2​相互独立，则 Y 1 + Y 2 ∼ N ( 0 , σ 2 + 1 ) Y_1+Y_2\sim N( 0,\sigma^2+1) Y1​+Y2​∼N(0,σ2+1)

设随机变量 Y 1 ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) Y_1 \sim N( \mu_1,\sigma_1^2) Y1​∼N(μ1​,σ12​) , Y 2 ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) 且 Y 1 , Y 2 相 互 独 立 , 则 Y_2 \sim N( \mu_2,\sigma_2^2)且Y_1,Y_2相互独立,则 Y2​∼N(μ2​,σ22​)且Y1​,Y2​相互独立,则 Y 1 + Y 2 ∼ N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) Y_1+Y_2\sim N( \mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) Y1​+Y2​∼N(μ1​+μ2​,σ12​+σ22​)

4.3 中心极限定理

4.4 二维正态分布

考点

正态分布概率的计算和应用

一般的正态分布转化为标准正态分布计算

X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X \sim N( \mu_1,\sigma_1^2) X∼N(μ1​,σ12​) Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y \sim N( \mu_2,\sigma_2^2) Y∼N(μ2​,σ22​) X − Y ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) X-Y\sim N( \mu_1-\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) X−Y∼N(μ1​−μ2​,σ12​+σ22​)

第五章 样本及抽样分布

5.1 随机样本

容量、样本

5.2 描述统计

用图形来显示数据：点图、茎叶图

用数字描述数据集：算术平均值、中位数、截尾均值

5.3 统计量

样本均值： X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i Xˉ=n1​∑i=1n​Xi​

样本方差： S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n X i 2 − n X ˉ 2 ) S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\bar X)^2=\frac{1}{n-1}(\sum_{i = 1}^{n}X_i^2-n\bar X^2) S2=n−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2=n−11​(∑i=1n​Xi2​−nXˉ2)

样本标准差： S = S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\bar X)^2} S=S2 ​=n−11​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)2 ​

样本k阶原点矩： A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k , k = 1 , 2 , 3... A_k=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^k,k=1,2,3... Ak​=n1​∑i=1n​Xik​,k=1,2,3...

样本k阶中心矩： B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) k , k = 1 , 2 , 3... B_k=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\bar X)^k,k=1,2,3... Bk​=n1​∑i=1n​(Xi​−Xˉ)k,k=1,2,3...

5.4 抽样分布

三分布：

1. χ 2 \chi^2 χ2分布

   设 X 1 , X 2 , X 3 . . . X n X_1,X_2,X_3...X_n X1​,X2​,X3​...Xn​是来自总体N(0,1)的样本则统计量

   χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + X 3 2 + . . . + X n 2 \chi^2=X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_n^2 χ2=X12​+X22​+X32​+...+Xn2​

   服从自由度为n的 χ 2 \chi^2 χ2分布.记为 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2\sim\chi^2(n) χ2∼χ2(n)

   χ 2 \chi^2 χ2的可加性：设 χ 1 2 ∼ χ 2 ( n 1 ) \chi_1^2\sim\chi^2(n_1) χ12​∼χ2(n1​), χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 2 ) \chi_2^2\sim\chi^2(n_2) χ22​∼χ2(n2​),并且 χ 1 2   , χ 2 2 \chi_1^2\ ,\chi_2^2 χ12​ ,χ22​相互独立，则有 χ 1 2 + χ 2 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 ) \chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2) χ12​+χ22​∼χ2(n1​+n2​)

   χ 2 \chi^2 χ2分布的数学期望和方差：若 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \chi^2\sim\chi^2(n) χ2∼χ2(n)，则有
   E ( χ 2 ) = n , D ( χ 2 ) = 2 n E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n E(χ2)=n,D(χ2)=2n

2. t分布

   设 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n) X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且X,Y相互独立，称随机变量 t = X Y / n t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} t=Y/n ​X​服从自由度为n的t分布，记为 t ∼ t ( n ) t\sim t(n) t∼t(n)

3. F分布

   设 U ∼ χ 2 ( n 1 ) , V ∼ χ 2 ( n 2 ) U\sim \chi^2(n_1),V\sim \chi^2(n_2) U∼χ2(n1​),V∼χ2(n2​),且U,V相互独立则称， F = U / n 1 V / n 2 F=\frac{U/n_1}{V/n_2} F=V/n2​U/n1​​服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1​,n2​)的F分布，记为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1​,n2​)

四定理：

定理1 设 X 1 , X 2 , X 3 . . . X n X_1,X_2,X_3...X_n X1​,X2​,X3​...Xn​是来自总体 N ( μ , σ 2 ) N( \mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的样本， X ˉ \bar{X} Xˉ是样本均值，则有

X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 ) \bar{X}\sim N( \mu,\sigma^2) Xˉ∼N(μ,σ2)

定理2

设 X 1 , X 2 , X 3 . . . X n X_1,X_2,X_3...X_n X1​,X2​,X3​...Xn​是来自总体 N ( μ , σ 2 ) N( \mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的样本， X ˉ ， S 2 \bar{X}，S^2 Xˉ，S2是样本均值和样本方差，则有

( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1) σ2(n−1)S2​∼χ2(n−1)

X ˉ 与 S 2 \bar{X}与S^2 Xˉ与S2独立

定理3 设 X 1 , X 2 , X 3 . . . X n X_1,X_2,X_3...X_n X1​,X2​,X3​...Xn​是来自总体 N ( μ , σ 2 ) N( \mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的样本， X ˉ ， S 2 \bar{X}，S^2 Xˉ，S2是样本均值和样本方差，则有

X ˉ − u S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\bar{X}-u}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) S/n ​Xˉ−u​∼t(n−1)

定理4 设 X 1 , X 2 , X 3 . . . X n 与 Y 1 , Y 2 , Y 3 . . . Y n X_1,X_2,X_3...X_n与Y_1,Y_2,Y_3...Y_n X1​,X2​,X3​...Xn​与Y1​,Y2​,Y3​...Yn​来自总体 N ( μ 1 , σ 1 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 2 ) N( \mu_1,\sigma_1^2),N( \mu_2,\sigma_2^2) N(μ1​,σ12​),N(μ2​,σ22​)的样本，且这两个样本相互独立，设 X ˉ = 1 n 1 ∑ i = 1 n 1 X i , Y ˉ = 1 n 2 ∑ i = 1 n 2 Y 2 \bar{X}=\frac{1}{n_1}\sum_{i = 1}^{n_1}X_i,\bar{Y}=\frac{1}{n_2}\sum_{i = 1}^{n_2}Y_2 Xˉ=n1​1​∑i=1n1​​Xi​,Yˉ=n2​1​∑i=1n2​​Y2​分别是两个样本的均值, S 1 ˉ = 1 n 1 − 1 ∑ i = 1 n 1 ( X i − X ˉ ) 2 , S 2 ˉ = 1 n 2 − 1 ∑ i = 1 n 2 ( Y i − Y ˉ ) 2 \bar{S_1}=\frac{1}{n_1-1}\sum_{i = 1}^{n_1}(X_i-\bar{X})^2,\bar{S_2}=\frac{1}{n_2-1}\sum_{i = 1}^{n_2}(Y_i-\bar{Y})^2 S1​ˉ​=n1​−11​∑i=1n1​​(Xi​−Xˉ)2,S2​ˉ​=n2​−11​∑i=1n2​​(Yi​−Yˉ)2分别是两个样本的方差，则有

S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1) σ12​/σ22​S12​/S22​​∼F(n1​−1,n2​−1)

考点

第六章 参数估计

6.1 参数的点估计

1. 矩估计法

   A l = 1 n ∑ i = 1 n X i l A_l=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i^l Al​=n1​∑i=1n​Xil​

2. 最大似然估计法

   三步求 L ( θ ) , l n L ( θ ) , d l n L ( θ ) d ( θ ) L(\theta),lnL(\theta),\frac{dlnL(\theta)}{d(\theta)} L(θ),lnL(θ),d(θ)dlnL(θ)​

考点

矩估计法和最大似然估计法求估计量(必考)