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贝尔曼-福特算法

贝尔曼一福特(Belman-Ford)算法是一种在图中求解最短路径问题的算法。最短路径问题就是在加权图指定了起点和终点的前提下，寻找从起点到终点的路径中权重总和最小的那条路径

双向计算，数字小的覆盖数字大的

图解

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A为起点，G为终点

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首先设置各个顶点的初始权重：起点为0，其他顶点为无穷大(∞)。这个权重表示的是从A到该顶点的最短路径的暂定距离。随着计算往下进行，这个值会变得越来越小，最终收敛到正确的数值

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从所有的边中选出一条边，此处选择了连接A-B的边。然后，分别计算这条边从一端到另一端的权重，计算方法是“顶点原本的权重+边的权重”。只要按顺序分别计算两个方向的权重即可，从哪一端开始都没有问题。此处我们选择按顶点权重从小到大的方向开始计算

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A的权重小于B，因此先计算从A到B的权重。A的权重是0，边A-B的权重是9，因此A到B的权重是0+9=9

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如果计算结果小于顶点的值，就更新这个值。顶点B的权重是无穷大，比9大，所以把它更新为9。更新时需要记录计算的是从哪个顶点到该顶点的路径

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接下来计算从B到A的权重。B的权重为9，从B到A的权重便为9+9=18。与顶点A现在的值0进行比较，因为现在的值更小，所以不更新

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对所有的边都执行同样的操作。在执行顺序上没有特定要求，此处我们选择从靠近左侧的边开始计算。先选出一条边……

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数值更新，顶点C的权重变成了2

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同样的，再选出一条边......

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权重更新。此时看出，从顶点A前往顶点B时，比起A直达B,在C中转一次的权重更小

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接着对所有边进行更新操作

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更新边B-D,B-E

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更新边C-D,C-F

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第2轮更新也结束了。顶点B的权重从8变成了7，顶点E的权重从9变成了8。接着，再执行一次更新操作。更新完所有的边后，第1轮更新就结束了。接着，重复对所有边的更新操作，直到权重不能被更新为止

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第3轮更新结束，所有顶点的权重都不再更新，操作到此为止。算法的搜索流程也就此结束，我们找到了从起点到其余各个顶点的最短路径

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根据搜索结果可知，从起点A到终点G的最短路径是A-C-D-F-G，权重为14。

解说
将图的顶点数设为n、边数设为m，我们来思考一下贝尔曼一福特算法的时间复杂度是多少。该算法经过》轮更新操作后就会停止，而在每轮更新操作中都需要对各个边进行1次确认，因此1轮更新所花费的时间就是O(m)，整体的时间复杂度就是O(mm)。
为了便于说明，前面的讲解以无向图为例，但在有向图中同样可以求解最短路径问题。选出一条边并计算顶点的权重时，无向图中的计算如前文步骤03-8所示，两个方向都要计算，而在有向图中只按照边所指向的那个方向来计算就可以了。

补充说明
计算最短路径时，边的权重代表的通常都是时间、距离或者路费等，因此基本都是非负数 。不过，即便权重为负，贝尔曼-福特算法也可以正常运行。 但是，如果在一个闭环中边的权重总和是负数，那么只要不断遍历这个闭环，路径的权重就能不断减小，也就是说根本不存在最短路径。遇到这种对顶点进行n次更新操作后仍能继续更新的情况，就可以直接认定它“不存在最短路径”