夯实算法-34.我能赢吗

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题目：LeetCode

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过  100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家 不能 重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定两个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和 desiredTotal（累计和），若先出手的玩家是否能稳赢则返回 true ，否则返回 false 。假设两位玩家游戏时都表现 最佳 。

示例 1：

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11
输出：false
解释：
无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

示例 2:

输入： maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 0
输出： true

示例 3:

输入： maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
输出： true

提示:

• 1 <= maxChoosableInteger <= 20
• 0 <= desiredTotal <= 300

解题思路

第一：如果可以选择的最大的数字 比 要超过的数字大，那么先手是一定赢得。
第二：如果所有可以选择的数字全部加起来都没有需要超过的数字大，那么先手怎么都赢不了
第三：深搜
具体分析：枚举先手先选择1，2，3…，假设，先手选了1，后手选了2，一直下去，看先手是否能赢，然后使用一个dp数组记录状态，也就是先手选1，后手选2，一直下去这一路，每个dfs都有自己的状态，也就是在这状态下，先手是否能赢 n个数，一共有2n种状态，也就说这个dp长度就是2n 因为n最大只能是20，那么一个int值就可以记录每个数字是否被选了

代码实现

public boolean canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
    //如果可以选择的最大的数字大于需要超过的数字   那么先手一定赢
    if(maxChoosableInteger>=desiredTotal){
        return true;
    }

    //如果所有可以选择的数字全部加起来都没有需要超过的数字大，那么先手怎么都赢不了
    if( (((maxChoosableInteger+1) * maxChoosableInteger) / 2) < desiredTotal ){
        return false;
    }
    return dfs(desiredTotal, new Boolean[1<<maxChoosableInteger],0,maxChoosableInteger);
}

/**
 *
 * @param desiredTotal 当前需要达到的累加和
 * @param dp 状态dp数组
 * @param state 数字被选与否的状态
 * @param maxChoosableInteger 最大的可选数字  也就是一开始的maxChoosableInteger 用来确定范围
 */
public boolean dfs(int desiredTotal, Boolean[] dp, int state,int maxChoosableInteger){
    if(dp[state]!=null){
        return dp[state];
    }
    //
    for(int i = 1 ; i<= maxChoosableInteger;i++){
        //记录i 是不是已经被使用了  也就是  !=0 就是被使用了
        int curstate = 1 << (i - 1);
        if( ( state & curstate ) !=0 ){
            continue;
        }

        //如果i大于现在要大于的数字了，或者后面那个人输了，那么我就赢了
        //这里要注意dfs是要取反的
        if(i >= desiredTotal || !dfs(desiredTotal-i,dp, state | curstate,maxChoosableInteger)){
            dp[state] = true;
            return true;
        }
    }
    //到这里，说明state这个状态赢不了
    dp[state] = false;
    return false;
}

运行结果

复杂度分析

• 空间复杂度：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(n)$

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