【算法24天：Day24】第七章回溯算法 LeetCode 组合问题（77）

台风与玫瑰
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题目一：

image.png

解法一：（回溯）

解题思路：刚接触回溯算法的题目，一点思路都没有，只能跟着代码随想录的题解慢慢进行下去 。

回溯算法理论基础：参考代码随想录。

把组合问题抽象为树形结构：

image.png

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲

  • 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下：

let result = [] // 存放符合条件结果的集合
let path = []; // 用来存放符合条件结果

其实不定义这两个全局变量也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为变量startIndex，这个参数用来记录本层递归中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

image.png

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

let result = [] // 存放符合条件结果的集合
let path = []; // 用来存放符合条件结果
const backtracking(n, k, startIndex)
  • 回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

77.组合3

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if (path.length == k) {
    result.push([...path]);
    return;
}
  • 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

77.组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (let i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push(i); // 处理节点 
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

完整代码：

var combine = function(n, k) {
    let result = []
    let path = []
    const backtracking = (n, k, startIndex) => {
        if (path.length === k) {
            result.push([...path])
            return 
        }
        for (let i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push(i)
            backtracking(n, k, i + 1)
            path.pop()
        }
    }
    backtracking(n, k, 1)
    return result
};

对比回溯算法模板：

const backtracking = (参数) => {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (let i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push(i)
    backtracking(n, k, i + 1)
    path.pop()
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (let i = startIndex; i <= n; i++) {

接下来看一下优化过程如下：

  1. 已经选择的元素个数：path.length;
  2. 还需要的元素个数为: k - path.length;
  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.length) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.length为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

优化后整体代码如下：

var combine = function(n, k) {
    let result = [] // 存放符合条件结果的集合
    let path = [] // 存放符合条件的结果
    const backtracking = (n, k, startIndex) => {
        if (path.length === k) {
            result.push([...path]) // 拷贝一份path，推入result
            return 
        }
        for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length) + 1; i++) {
            path.push(i)
            backtracking(n, k, i + 1)
            path.pop()
        }
    }
    backtracking(n, k, 1)
    return result
};

解法二：（数组组合公式）

数学方法，利用组合公式

概率论中有个公式：

image.png

等式左边表示从 n 个元素中选 k 个元素，等式右边表示实现这个过程的一种方式：

任意选择一个元素作为特殊元素，从 n 中选 k 个元素可以分为：包不包含这个特殊元素： 包含，就相当于，从 n-1 个元素中选出 k-1 个元素，即 image.png

不包含，就相当于，从 n-1 个元素中选出 k 个元素，即 image.png

为了方便，我选择当前集合中最大的那个数，作为特殊元素，选进我们的部分解中。如下图所示。

image.png

```` const combine = (n, k) => { const res = []; const helper = (n, k, path) => { if (n < k || k == 0) { // k比n大了，或，找齐了k个，结束递归 if (k == 0) { // 找齐k个时，加入解集 res.push(path.slice()); } return; } helper(n - 1, k - 1, path.concat(n)); // 选n，C(n-1, k-1) helper(n - 1, k, path); // 不选n，C(n-1,k) };

helper(n, k, []); return res; };

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