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题目描述

2022/9/25 每日一题
0, 1, 和 8 被旋转后仍然是它们自己；2 和 5 可以互相旋转成对方；6 和 9 同理，除了这些以外其他的数字旋转以后都不再是有效的数字。如果一个数的每位数字被旋转以后仍然还是一个数字，且和其本身不同，则这个数是有效的。
输入：给定一个正整数N 输出：计算从 1 到 N 中有多少个数 X 是有效数字。

算法思路

1、首先对有效数字所需的属性进行分析，若一个数是有效数字，则：
必须具有：2，5，6，9
可有可无：0，1，8
禁止出现：3，4，7
2、暴力法：枚举1-n的每一个数字，若为好数则返回值加一，最后返回最终返回值，但是这个方法不是很聪明。
3、数位动态规划：本文需要重点介绍的算法。

数位动态规划

动态规划是一种以空间复杂度来换取时间复杂度的有效方法，一般使用一个多维数组来存储计算过程中产生的中间状态，数组的每个维度代表事件发生状态的一个维度。
数位动态规划算法的思想是分别规划整个数字中的每个数字位，核心思想是“填数”，例如给定数字“xyz”这个三位数，那么百位、十位、个位可能出现的数字为0-9。我们尝试在每个数位上填0-9，同时要考虑题目所给约束条件来作为动态规划算法的边界条件。
以本题为例，给定一个数字，需要判断是否为有效数字的数字，其每位上出现的数字必须分别<=这个数字上的每位数，例如给定“123”，需要判断的数组的百位只能为“1”，十位只能为“1-2”，个位只能为“1-3”。这就是这个数字的边界条件之一。
第二个边界条件为题目本身的约束，即是否出现必须数字2，5，6，9，以及是否出现禁止出现的3，4，7 ，而对于0，1，8可有可无。
数位动态规划的模板为定义一个函数，其格式为dfs(pos, bound, diff)，其中
pos为当前填数的位置
bound为边界条件，用于判断是否需要继续遍历
diff为题目本身所给约束，例如本题中对有效数字的定义

本题应用

现在介绍数位动态规划在本题中的具体应用。本题定义的动态规划函数为int dfs(int pos, int bound, int diff)，其中：
pos:当前填数的位置
bound:前pos-1位是否"贴着"输入的正整数，所谓贴着是指某数位是否与输入正整数相等，如果相等则当前位置的填数不能再增大了，否则会超过给定的判断区间
diff:前pos-1位是否出现2，5，6，9,即本题的约束
整个dfs的返回值的含义：从第pos位开始填数，bound,diff为相应状态时，后续填数出现有效数字的个数。bound状态为出边界和不出边界两种，diff为出现必需数字和不出现必须数字两种情况。
memo[pos][bound][diff]：因为在整个填数遍历的过程中会出现重复计算的情况，所以使用一个三维数组记录中间状态以减少重复计算。

代码实现

    int[] check = {0, 0, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 0, 1};
    List<Integer> digits = new ArrayList<>();
    //第一维长度不能设为数字位数，因为memo只能为全局变量，而数字位数是在主函数里才能确定的，若设为位数则会被赋值为0
    int[][][] memo = new int[5][2][2];

    public int rotatedDigits(int n) {
        while(n != 0){
            digits.add(n % 10);
            n /= 10;
        }
        //反转List
        Collections.reverse(digits);

        //初始化所有元素为-1
        for(int i = 0; i < 5; i++){
            for(int j = 0; j < 2; j++){
                //Arrays.fill()只能填充一维数组，内部也是执行for循环
                Arrays.fill(memo[i][j], -1);
            }
        }
        //从第0位开始考虑，初始时第一位填数受限（不能超出n的第一位），未出现好数
        return dfs(0, 1, 0);
    }
    
    public int dfs(int pos, int bound, int diff){
       //出边界情况:填数位置处于数字外，此时只需判断已填数字是否有必须
       if(pos == digits.size()){
           return diff;
       }
       if(memo[pos][bound][diff] != -1){
           return memo[pos][bound][diff];
       }

       int ret = 0;
       for(int i = 0; i <= (bound == 1 ? digits.get(pos) : 9); i++){
           //若当前位未出现禁止数，则填入当前数，并对下一位进行填数判断
           if(check[i] != -1){
               ret += dfs(
                   pos + 1,
                   bound == 1 && i == digits.get(pos) ? 1 : 0,
                   diff == 1 || check[i] == 1 ? 1 : 0
               );
           }
            //若当前位出现禁止数，则截枝，不对下一位进行填数，而是更换当前位填数
       }
       return memo[pos][bound][diff] = ret;
    }

LeetCode788：旋转数字

题目描述

算法思路

数位动态规划

本题应用

代码实现