组合数学笔记

用户25046451741
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一、 复杂排列与组合

复杂排列

  • 1.3.1：相异元素不允许重复的排列数和组合数:P(n,r)、C(n,r)

  • 1.3.2：相异元素允许重复的排列：n的r次方（RP（∞，r））

    （课本上的某个题备注：同盒的球不加以区分）

  • 1.3.3不尽相异元素的排列：RP(n,r)

    ps:同一类元素（如：同一个盒子里的球不分次序，一样的）是不加区分的

特例：r=1、r=n全排列

  • 1.3.4相异元素不允许重复的圆排列

    • 圆排列：CP(n,n) = (n - 1)!。注意与线排列的区别，要÷n。（课本例子：圆桌会议；课后习题5）
    • 项链排列：存在重复的情况（沿着中轴线翻转前后的两种情况为同一种）：圆排列 /2

复杂组合

  • 相异元素不允许重复的组合：C（n,r）
  • 1.3.5相异元素允许重复的组合（必考；包括证明）：RC（∞，r）= C(n+r-1,r)(课本例子1.3.4)
  • 1.3.6不尽相异元素任取r个的组合（第二章普母函数）RC（n，r）

组合等式及其组合意义

几乎不考

  • 对称关系式：C（n,r） = C（n,n-r）

  • 加法公式：C（n,r）= C（n-1,r） + C（n-1,r-1）

    思想：“+”是两种情况（含a或不含a），或的意思。

  • 乘法公式：C(n,k)*C(k,r) = C(n,r)*C(n-r,k-r)（证法要知道）

  • 等式4先不讲

  • 等式5：范德蒙恒等式

  • 和式公式

  • 等式7：n个元素中取r个组合，r为奇数的组合数目=为偶数的组合数

  • 等式8不太常用

  • 等式9：证明某些算法收敛性很有用

  • 等式10不常用

二、母函数及其应用

1.普母函数

  • 母函数定义：
对于无穷级数an,无穷级数G(x)=∑n=0∞anxn为该数列的普母函数（母函数），同时称anxn为G(x)的生成数列。对于无穷级数{a_n},无穷级数G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}{x^n}为该数列的普母函数（母函数），\\同时称{a_n}{x^n}为G(x)的生成数列。

  • 定理：组合的母函数

    S={n1⋅e1,n2⋅e2,n3⋅e3,...,nm⋅em},且n1+n2+n3+...+nm=n,则S的r可重组合的母函数为：G(x)=∏i=1m(∑j=0nixj)=∑r=0narxr,其中r可重组合数为xr的系数ar。S=\{{n_1}·{e_1},{n_2}·{e_2},{n_3}·{e_3},...,{n_m}·{e_m}\},且{n_1}+{n_2}+{n_3}+...+{n_m}=n,\\则S的r可重组合的母函数为：G(x) = \prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=0}^{n_i}x^j)=\sum_{r=0}^{n}{a_r}{x^r},\\其中r可重组合数为{x^r}的系数{a_r}。

    如果不理解可以将G(x)的连乘式子写开。

几个推论：

  • 相异元素不可重复：

    S={e1,e2,e3,...,en},则r无重组合的母函数：G(x)=(1+x)n,组合数为xr的系数C(n,r)S=\{{e_1},{e_2},{e_3},...,{e_n}\},则r无重组合的母函数：\\G(x)={(1+x)}^n,组合数为{x^r}的系数C(n,r)

  • 相异元素可重复：

    S={∞⋅e1,∞⋅e2,∞⋅e3,...,∞⋅en}，r无限可重组合的母函数为G(x)=(∑j=0∞xj)n=1/(1−x)nS=\{\infty·{e_1},\infty·{e_2},\infty·{e_3},...,\infty·{e_n}\}，r无限可重组合的母函数为\\G(x)={(\sum_{j=0}^\infty{x^j})}^n=1/{(1-x)}^n

  • 相异元素可重复，但每种至少取一个：

    S={∞⋅e1,∞⋅e2,∞⋅e3,...,∞⋅en}，每个元素至少取一个，则r可重组合（r≥n）的母函数为：G(x)=(∑j=1∞xj)n=(x/(1−x))n组合数为xr的系数C(r−1,n−1)S=\{\infty·{e_1},\infty·{e_2},\infty·{e_3},...,\infty·{e_n}\}，每个元素至少取一个，\\则r可重组合（r\geq n）的母函数为：\\ G(x)={(\sum_{j=1}^\infty{x^j})}^n={(x/(1-x))}^n\\组合数为x^r的系数C(r-1,n-1)
  • S={∞⋅e1,∞⋅e2,∞⋅e3,...,∞⋅en}，每个元素出现非负偶数次，则r可重组合的母函数为：G(x)=(1+x2+x4+...+x2r+...)n=1(1−x2)n组合数为xr的系数：ar={0,当r为奇数C(n+r2−1,r2,r)，r为偶数S=\{\infty·{e_1},\infty·{e_2},\infty·{e_3},...,\infty·{e_n}\}，每个元素出现非负偶数次，\\则r可重组合的母函数为：\\ G(x)=(1+x^2+x^4+...+x^{2r}+...)^n=\frac{1}{(1-x^2)^n}\\ 组合数为x^r的系数：a^r=\begin{cases}0,当r为奇数\\ C(n+\frac{r}{2}-1,\frac{r}{2},r)，r为偶数 \end{cases}
  • S={∞⋅e1,∞⋅e2,∞⋅e3,...,∞⋅en}，每个元素出现奇数次，则r可重组合的母函数为：G(x)=(x+x3+x5+...+x2r+1+...)n=(x1−x2)n组合数为xr的系数：ar={0,当r−n为奇数C(n+r−n2−1,r−n2,r−n),r−n为偶数S=\{\infty·{e_1},\infty·{e_2},\infty·{e_3},...,\infty·{e_n}\}，每个元素出现奇数次，则r可重组合的母函数为：\\ G(x)=(x+x^3+x^5+...+x^{2r+1}+...)^n=(\frac{x}{1-x^2})^n\\ 组合数为x^r的系数：a^r=\begin{cases}0,当r-n为奇数\\ C(n+\frac{r-n}{2}-1,\frac{r-n}{2},r-n),r-n为偶数 \end{cases}

  • 最重要的：

    S={n1⋅e1,n2⋅e2,n3⋅e3,...,nm⋅em},且n1+n2+n3+...+nm=n,要求元素ei至少出现ki次，则S的r可重组合母函数为：G(x)=∏i=1m(∑j=kinixj)=∑r=knarxr，其中r可重组合数为xr系数ar，r=k，k+1，...，n，k=k1+k2+k3+...kmS=\{{n_1}·{e_1},{n_2}·{e_2},{n_3}·{e_3},...,{n_m}·{e_m}\},且{n_1}+{n_2}+{n_3}+...+{n_m}=n,\\要求元素e_i至少出现k_i次，则S的r可重组合母函数为：\\G(x)=\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=k_i}^{n_i}x^j)=\sum_{r=k}^{n}a_rx^r，\\ 其中r可重组合数为x^r系数a^r，r=k，k+1，...，n，k=k_1+k_2+k_3+...k_m
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