一、定义

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在二叉查找树中:

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于（或等于）它的根结点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• 没有键值相等的节点。

二、实现

• 构造节点

BSTree是二叉树，它保存了二叉树的根节点mRoot；mRoot是BSTNode类型，而BSTNode是二叉查找树的节点，它是BSTree的内部类。BSTNode包含二叉查找树的几个基本信息:

• key -- 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
• left -- 它指向当前节点的左孩子。
• right -- 它指向当前节点的右孩子。
• parent -- 它指向当前节点的父结点。

public class BSTree<T extends Comparable<T>> {

    private BSTNode<T> mRoot;    // 根结点

    public class BSTNode<T extends Comparable<T>> {
        T key;                // 关键字(键值)
        BSTNode<T> left;      // 左孩子
        BSTNode<T> right;     // 右孩子
        BSTNode<T> parent;    // 父结点

        public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
            this.key = key;
            this.parent = parent;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

        ......
}

• 遍历

  • 先序遍历

  若二叉树非空，则执行以下操作:

  访问根结点；先序遍历左子树；先序遍历右子树。

  遍历顺序：ABDECF

  从上到下，每一个小二叉数都是：根->左->右

  /*
   * 前序遍历"二叉树"
   */
  private void preOrder(BSTNode<T> tree) {
      if(tree != null) {
          System.out.print(tree.key+" ");
          preOrder(tree.left);
          preOrder(tree.right);
      }
  }
  
  public void preOrder() {
      preOrder(mRoot);
  }
  

  • 中序遍历

  若二叉树非空，则执行以下操作:

  中序遍历首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树

  遍历结果：DBEAFC

  从小到大排序（只对BST）

  /*
   * 中序遍历"二叉树"
   */
  private void inOrder(BSTNode<T> tree) {
      if(tree != null) {
          inOrder(tree.left);
          System.out.print(tree.key+" ");
          inOrder(tree.right);
      }
  }
  
  public void inOrder() {
      inOrder(mRoot);
  }
  

  • 后序遍历

  若二叉树非空，则执行以下操作:

  先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根结点

  遍历结果：DEBFCA

  从最底层往上读取（从下到上从左到右）

  /*
   * 后序遍历"二叉树"
   */
  private void postOrder(BSTNode<T> tree) {
      if(tree != null)
      {
          postOrder(tree.left);
          postOrder(tree.right);
          System.out.print(tree.key+" ");
      }
  }
  
  public void postOrder() {
      postOrder(mRoot);
  }
  

• 查找

  • 递归版本的代码

  /*
   * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
   */
  private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {
      if (x==null)
          return x;
  
      int cmp = key.compareTo(x.key);
      if (cmp < 0)
          return search(x.left, key);
      else if (cmp > 0)
          return search(x.right, key);
      else
          return x;
  }
  
  public BSTNode<T> search(T key) {
      return search(mRoot, key);
  }
  
  

  • 非递归版本的代码

  /*
   * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
   */
  private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {
      while (x!=null) {
          int cmp = key.compareTo(x.key);
  
          if (cmp < 0) 
              x = x.left;
          else if (cmp > 0) 
              x = x.right;
          else
              return x;
      }
  
      return x;
  }
  
  public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {
      return iterativeSearch(mRoot, key);
  }
  
  

• 最大值和最小值

  查找最大值，就是找最右边的结点

  查找最小值，就是找最左边的结点

  /* 
   * 查找最大结点: 返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
   */
  private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {
      if (tree == null)
          return null;
  
      while(tree.right != null)
          tree = tree.right;
      return tree;
  }
  
  public T maximum() {
      BSTNode<T> p = maximum(mRoot);
      if (p != null)
          return p.key;
  
      return null;
  }
  
  /* 
   * 查找最小结点: 返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
   */
  private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {
      if (tree == null)
          return null;
  
      while(tree.left != null)
          tree = tree.left;
      return tree;
  }
  
  public T minimum() {
      BSTNode<T> p = minimum(mRoot);
      if (p != null)
          return p.key;
  
      return null;
  }
  
  
  

• 前驱和后继

  前驱图：

  

  后继图：跟前驱类似

  /*
   * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
   */
  public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {
      // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
      if (x.right != null)
          return minimum(x.right);
  
      // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能:
      // (01) x是"一个左孩子"
      // (02) x是"一个右孩子"
      //但无论哪种情况，后继节点的寻找方法都是，不断地找父节点，直到当前节点是父节点的左节点
      BSTNode<T> y = x.parent;
  
      while ((y!=null) && (x==y.right)) {
          x = y;
          y = y.parent;
      }
  
      return y;
  }
  
  /*
   * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
   */
  public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {
      // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
      if (x.left != null)
          return maximum(x.left);
  
      // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能:
      // (01) x是"一个右孩子"
      // (02) x是"一个左孩子"
      //但无论哪种情况，前驱节点的寻找方法都是，不断地找父节点，直到当前节点是父节点的右节点
      BSTNode<T> y = x.parent;
      while ((y!=null) && (x==y.left)) {
          x = y;
          y = y.parent;
      }
  
      return y;
  }
  

• 插入

  

  /*
   * 将结点插入到二叉树中
   *
   * 参数说明:
   *     bst 整个tree
   *     z 插入的结点
   */
  private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
      int cmp;
      BSTNode<T> y = null;
      BSTNode<T> x = bst.mRoot;
  
      // 查找z的插入位置
      while (x != null) {
          y = x;
          cmp = z.key.compareTo(x.key);
          if (cmp < 0)
              x = x.left;
          else
              x = x.right;
      }
  
      z.parent = y;
      if (y==null)
          bst.mRoot = z;
      else {
          cmp = z.key.compareTo(y.key);
          if (cmp < 0)
              y.left = z;
          else
              y.right = z;
      }
  }
  

• 删除

  

  情况一：被删除的节点有左右子树--前驱顶替

  情况二：被删除的节点只有左子树（或右子树）--孩子顶替

  情况三：被删除的节点没有子树--直接删除

  /*
   * 删除结点(z)，并返回被删除的结点
   * 删除并不是真的把节点位置删除了，需要先去寻找真正删除的位置，然后把对应的节点重新绑定（赋值）
   * 参数说明:
   *     bst 二叉树
   *     z 删除的结点
   */
  private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
      //暂存节点信息
      BSTNode<T> x=null;
      //真正被删除的节点位置
      BSTNode<T> y=null;
      //1、寻找被删除的位置
      if ((z.left == null) || (z.right == null) )
          //被删除的节点只有左子树或右子树或者没有子树
          y = z;
      else
          //被删除的节点有左右子树--先寻找前驱节点
          //删除的就是前驱的位置
          y = successor(z);
      //2、重新构造新的节点信息
      //有左节点信息，一定是左节点替换（前驱节点替换删除的位置），没有的话就只有右节点了
      if (y.left != null)
          x = y.left;
      else
          x = y.right;
      if (x != null)
          x.parent = y.parent;
      //3、重新连接节点（删除需要删除的节点）
      //如果y的parent为null，那么y就是根
      if (y.parent == null)
          bst.mRoot = x;
          //被删除的节点只有左子树
      else if (y == y.parent.left)
          //重新连接节点信息
          y.parent.left = x;
      else
          //重新连接节点信息
          y.parent.right = x;
      //4、复制值x
      if (y != z)
          z.key = y.key;
  
      //System.out.println("真正删除的节点："+y);
      return y;
  
  
  }
  

• 打印

  /*
   * 打印"二叉查找树"
   *
   * key        -- 节点的键值 
   * direction  --  0，表示该节点是根节点;
   *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
   *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
   */
  private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) {
  
      if(tree != null) {
  
          if(direction==0)    // tree是根节点
              System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);
          else                // tree是分支节点
              System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");
  
          print(tree.left, tree.key, -1);
          print(tree.right,tree.key,  1);
      }
  }
  
  public void print() {
      if (mRoot != null)
          print(mRoot, mRoot.key, 0);
  }
  
  

• 销毁

  /*
   * 销毁二叉树
   */
  private void destroy(BSTNode<T> tree) {
      if (tree==null)
          return ;
  
      if (tree.left != null)
          destroy(tree.left);
      if (tree.right != null)
          destroy(tree.right);
  
      tree=null;
  }
  
  public void clear() {
      destroy(mRoot);
      mRoot = null;
  }
  
  

三、代码和测试

完整代码和测试参考：www.pdai.tech/md/algorith…