940. 不同的子序列 II : 常规序列 DP 运用以及优化持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月

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题目描述

这是 LeetCode 上的 940. 不同的子序列 II ，难度为困难。

Tag : 「序列 DP」、「动态规划」

给定一个字符串 s，计算 s 的不同非空子序列的个数。因为结果可能很大，所以返回答案需要对 $10^9 + 7$ 取余。

字符串的子序列是经由原字符串删除一些（也可能不删除）字符但不改变剩余字符相对位置的一个新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的一个子序列，但 "aec" 不是。

示例 1：

输入：s = "abc"

输出：7

解释：7 个不同的子序列分别是 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 以及 "abc"。

示例 2：

输入：s = "aba"

输出：6

解释：6 个不同的子序列分别是 "a", "b", "ab", "ba", "aa" 以及 "aba"。

示例 3：

输入：s = "aaa"

输出：3

解释：3 个不同的子序列分别是 "a", "aa" 以及 "aaa"。

提示：

$1 <= s.length <= 2000$
s 仅由小写英文字母组成

序列 DP

为了方便，我们令 s 下标从 $1$ 开始，定义 $f[i][j]$ 为考虑前 $i$ 个字符，且结尾字符为 $j$ 的不同子序列的个数，其中 $j$ 的范围为 $[0, 25]$ 代指小写字符 a-z。

我们有显而易见的初始化条件 $f[0][X] = 0$ ，最终答案为 $\sum_{i = 0}^{25}f[n][i]$ 。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何转移，根据 $s[i]$ 是否为 $j$ 进行分情况讨论：

$s[i] \neq j$ : 由于状态定义限定了结尾字符必须是 $j$ ，因而 $s[i]$ 必然不会用到，此时有：

f[i][j] = f[i - 1][j]

$s[i] = j$ : 此时 $s[i]$ 可作为结尾元素，同时由于我们统计的是「不同」的子序列个数，因而「以 $j$ 结尾的子序列方案数」与「以 $s[i]$ 结尾的子序列方案数」完全等价。对于以 $s[i]$ 作为子序列结尾字符的方案数，容易想到其方案数等于「 $s[i]$ 单独作为子序列」+「 $s[i]$ 拼接在其余子序列后面形成新子序列」，即有：

f[i][j] = 1 + \sum_{k = 0}^{25} f[i - 1][k]

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int distinctSubseqII(String s) {
        int n = s.length(), ans = 0;
        int[][] f = new int[n + 1][26];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int c = s.charAt(i - 1) - 'a';
            for (int j = 0; j < 26; j++) {
                if (c != j) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                } else {
                    int cur = 1;
                    for (int k = 0; k < 26; k++) cur = (cur + f[i - 1][k]) % MOD;
                    f[i][j] = cur;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < 26; i++) ans = (ans + f[n][i]) % MOD;
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：

function distinctSubseqII(s: string): number {
    const MOD = 1e9+7
    let n = s.length, ans = 0
    const f = new Array<Array<number>>(n + 1)
    for (let i = 0; i <= n; i++) f[i] = new Array<number>(26).fill(0)
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        const c = s.charCodeAt(i - 1) - 'a'.charCodeAt(0)
        for (let j = 0; j < 26; j++) {
            if (c != j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j]
            } else {
                let cur = 1
                for (let k = 0; k < 26; k++) cur = (cur + f[i - 1][k]) % MOD
                f[i][j] = cur
            }
        }
    }
    for (let i = 0; i < 26; i++) ans = (ans + f[n][i]) % MOD
    return ans
}

Python 代码：

class Solution:
    def distinctSubseqII(self, s: str) -> int:
        n, MOD = len(s), 1e9+7
        f = [[0] * 26 for _ in range(n + 1)]
        for i in range(1, n + 1):
            c = ord(s[i - 1]) - ord('a')
            for j in range(26):
                f[i][j] = f[i - 1][j] if c != j else (1 + sum(f[i - 1])) % MOD
        return int(sum(f[n]) % MOD)

时间复杂度： $O(n \times C^2)$ ，其中 $C = 26$ 为字符集大小
空间复杂度： $O(n \times C)$

转移优化

根据转移的依赖关系，实现上，我们并不需要真正记录每一个 $f[i][X]$ ，而可以直接记录一个总的不同子序列方案数 ans。

这可以避免每次计算新状态时，都累加前一个 $f[i - 1][X]$ 的值，有效减低时空复杂度。

Java 代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int distinctSubseqII(String s) {
        int n = s.length(), ans = 0;
        int[] f = new int[26];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int c = s.charAt(i) - 'a', prev = f[c];
            f[c] = (ans + 1) % MOD;
            ans = (ans + f[c]) % MOD;
            ans = (ans - prev + MOD) % MOD;
        }
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：

function distinctSubseqII(s: string): number {
    const MOD = 1e9+7
    let n = s.length, ans = 0
    const f = new Array<number>(26).fill(0)
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const c = s.charCodeAt(i) - 'a'.charCodeAt(0), prev = f[c]
        f[c] = (ans + 1) % MOD
        ans = (ans + f[c]) % MOD
        ans = (ans - prev + MOD) % MOD
    }
    return ans
}

Python 代码：

class Solution:
    def distinctSubseqII(self, s: str) -> int:
        n, MOD, ans = len(s), 1e9+7, 0
        f = [0] * 26
        for i in range(n):
            c = ord(s[i]) - ord('a')
            prev = f[c]
            f[c] = (ans + 1) % MOD
            ans = (ans + f[c] - prev) % MOD            
        return int(ans)

时间复杂度： $O(n)$
空间复杂度： $O(C)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.940 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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