我正在参加「掘金·启航计划」
什么是动态规划？
动态规划（dp）问题是通过求子问题解的方式，来解决原来复杂或庞大的问题。
通俗的来讲，动态规划问题都可以用方程的形式进行表达，解决dp问题的关键也在于找出问题潜在的方程。
比如下图中，有一个机器人在m*n的网格的左上角，它要到达右下角的目的地，但每一次只能向下或者向右走，你能算出有多少条不同的路径吗？
这种问题使用暴力枚举在一些情况下可能也能解决，但是会花费大量的时间和消耗大量的内存。而且在力扣或牛客等，暴力法通常是不会ac的。
动态规划问题解法
首先，有两种方法：
- 自下而上
- 自上而下
1. 自下而上
自下而上是通过 迭代 实现的：
自下而上就是先从子问题开始计算，重复计算推算出问题的解。
斐波那契数列[1、1、2、3、5、8、13、21、34、……]以如下递推的方法定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
如果求F(n)的值，在已知F(0)=0, F(1)=1时，通过F(0)和F(1)计算F(2)，然后使用计算结果计算F(3)…
重复计算可以求解F(n)。
// 伪代码如下:
F = array of length (n + 1)
F[0] = 0
F[1] = 1
for i from 2 to n:
F[i] = F[i - 1] + F[i - 2]
2. 自上而下
自上而下通过 递归 实现，并且通过 记忆化 提高效率（其实就是递归+记忆化搜索）
继续以斐波那契数列的递推公式为例，如果我们想求解F(n)，我们需要求解F(n-1)和F(n-2)；求解F(n-1)需要F(n-2)和F(n-3) ，求解F(n-2)需要F(n-3) 和F(n-4)…一直递归到已知的F(0)=0和F(1)=1
自上而下的缺点也很明显，在计算中存在了大量的重复计算，导致效率不高
解决方法也很简单，用空间换时间，也就是记忆化：将函数调用的结果存储在哈希图或数组中，这样当再次进行相同的函数调用时，我们可以返回记忆的结果，避免重复计算。
//伪代码如下:
memo = hashmap
Function F(integer i):
if i is 0 or 1:
return i
if i doesn't exist in memo:
memo[i] = F(i - 1) + F(i - 2)
return memo[i]
总结
可能有人要问：“这两个方法哪个更好呢？”
动态规划问题可以用二者任意一种方法实现，每个方法都有各自的优点:
- 自下而上的运行速度更快 (递归效率低)
- 自上而下的实现更简单 (使用递归，我们不用在意子问题的逻辑顺序；而自下而上的方法中，我们需要解决子问题的逻辑顺序)
文章开头问题及图片的出处：《力扣 62.不同路径》，dp问题非常经典的一道题目，感兴趣的小伙伴可以尝试一下。
祝你今天愉快，你明天的愉快留着我明天再祝。——王小波
