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题目大意

一个齿轮系统是蒸汽朋克的，当且仅当这个齿轮系统可以顺利运转。即对于任意两个啮合的齿轮，设它们的半径和角速度分别为 $r_1,ω_1$ 和 $r_2,ω_2$ ，满足 $r_1\times ω_1+r_2\times ω_2=0$ 。

对于正整数 $n,m,k(1≤n,m≤10^5,k≤n)$ ，分别表示齿轮数量，啮合关系数量和已知角速度的齿轮数量。分别给出如下信息：

$n$ 个齿轮的半径 $r_1,r_2,⋯,r_n(1≤r_i≤10^3)$ 。
$m$ 对整数 $u,v(1≤u,v≤n)$ ，表示齿轮 $u$ 和齿轮 $v$ 啮合。
$k$ 组整数对 $p,ω(1≤p≤n,−10^9≤ω≤10^9)$ ，表示齿轮 $p$ 的角速度为 $ω$ ，保证 $p$ 互不相同。

试求所有齿轮的角速度。若无解，输出 It is not steampunk!，若解不唯一，输出 oo

思路

容易发现一个连通块中如果有一个齿轮的角速度已知，我们就可以推出整个连通块中所有齿轮的角速度。对于有已知角速度 $\omega_u$ 的齿轮 $u$ ，遍历与其啮合的所有齿轮 $v$ ：

若齿轮 v 角速度没有确定，则用 $-\frac{r_u\times \omega_u}{r_v}$ 来更新它，
若齿轮 v 有 $w_v$ ，则判断二者是否满足题目中的关系式 $r_1\times \omega_1+r_2\times \omega_2=0$ 。如果不能满足关系式，即两个齿轮冲突，我们输出 It is not steampunk!。

当把所有可以通过已知的 w 推出的信息通过搜索全部更新完毕后，我自信的写出解不唯一的判断条件——如果访问过的齿轮数量不等于n，则输出 oo。

于是 Wa 了 15 发（

仔细想了一想我的判断条件，发现因为 $r$ 全为正数，存在啮合关系的两个齿轮的 $w$ 只可能全为 0 或者一正一负。比如有 a,b,c 三个齿轮，a 和 b 啮合了，a 和 c 啮合了，b 和 c 啮合了，虽然三者都没有指定角速度，但是它们的角速度必然都为 0。推广一下，如果一个连通块中存在奇环，那么其中所有齿轮的角速度其实也已经确定。即解不唯一的条件其实是“存在没有访问过的不在奇环里的齿轮”。综上，我们现在面临的问题变成了怎么才能判断一个连通块里有奇环……

强连通分量黑白染色？当然不。

易知在不含奇环且所有齿轮都不确定角速度的连通块中，任取一个齿轮给它赋值任意的 $\omega_0$ ，都可以通过调整其他点的 $\omega$ 使得该连通块不存在冲突。

遍历没有在搜索中确定角速度的齿轮，让它随便等于一个非零数字，进行一次搜索：

如果没产生冲突，我们已经求出了两种合法解，可以理直气壮地输出 oo 了。
如果产生了冲突，就说明该齿轮的角速度一定等于 0，可以确定它所在的连通块里所有的齿轮的角速度均为 0。

如果最终既不 It is not steampunk! 也不 oo，则输出我们求出的每个齿轮的角速度。

代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
const int N=100001;
vector<int> e[N];
int n,m,k;
double r[N],w[N],qwq=0.000001,val,ans[N];
int d[N],vis[N],h,t,cnt;
int bfs()
{
    int flag=1;
	while (h!=t)
	{
		cnt++;
		int u=d[++h]; 
		for (auto v:e[u])
		{
			val=-r[u]*w[u]/r[v];
			if (!vis[v])
			{
				w[v]=val;
				vis[v]=1;
				d[++t]=v;
			}
			if (fabs(r[u]*w[u]+r[v]*w[v])>qwq) flag=0;
		}
	}
	return flag;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&r[i]);
	for (int i=1,x,y;i<=m;++i) scanf("%d%d",&x,&y),e[x].push_back(y),e[y].push_back(x);
	for (int i=1,x;i<=k;++i)
	{
		scanf("%d",&x);
		d[++t]=x;
		scanf("%lf",&w[x]);
		vis[x]=1;
	}	
	if (!bfs()) return printf("It is not steampunk!"),0;
	for (int i=1;i<=n;++i) ans[i]=w[i];
	if (cnt!=n)
	{
		for (int i=1;i<=n;++i)
			if (!vis[i])
			{
				vis[i]=1;
				d[++t]=i;
				w[i]=123;
                if (bfs()) return printf("oo"),0;
			}
	}
	printf("Steampunk!\n");
	for (int i=1;i<n;++i) printf("%.4f ",ans[i]);
	printf("%.4f",ans[n]);
	return 0;
}

【HBCPC2021河北省大学生程序设计竞赛】F - 蒸汽朋克

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