持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第13天，点击查看活动详情

动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3 输出：5

示例 2：

输入：n = 1 输出：1

二叉搜索树

它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

思路:

把第i个节点看作是根节点, 那么所产生的所有可能性为 左子树的所有可能性 * 右子树所有可能性 当根节点为i的时候, 左边为 n - 1 个节点所形成的子树，右边为 n - i 个节点所形成的子树, 假设dp[i]表示为有多少个节点所形成的子树，k[i] 表示第i个节点为根节点的可能性。 k[i] = dp[i - 1] * dp[n - i] dp[i] = k[1] + k[2]......k[i]

依题可知:

• 当 n = 0 时，没有数字，只能形成一种满足题意的二叉搜索树 ：空树。
• 当 n = 1 时，只有一个数字，只能形成一种满足题意的二叉搜索树 ：单个节点。

代码如下：

fun numTrees(n: Int): Int {
    val dp = IntArray(n + 1)
    dp[0] = 1
    for (i in 1..n) {
        var count = 0
        for (j in 1..i) {
            count += dp[j - 1] * dp[i - j]
        }
        dp[i] = count
    }
    return dp[n]
}

• 时间复杂度 : O(n^2),需要遍历两次。
• 空间复杂度 : O(n)。我们需要 O(n) 的空间存储dp数组。