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96. 不同的二叉搜索树

题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

解题思路

假设 n 个节点存在二叉排序树的个数是 G (n)，令 f(i) 为以 i 为根的二叉搜索树的个数，则 G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)

当 i 为根节点时，其左子树节点个数为 i-1 个，右子树节点为 n-i，则 f(i) = G(i-1)*G(n-i)f(i)=G(i−1)∗G(n−i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式:
G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+...+G(n−1)∗G(0)

思路一： 动态规划

动态规划转移方程如下：
G(n)=G(0)∗G(n−1)+G(1)∗(n−2)+...+G(n−1)∗G(0)
实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function(n) {
    let G = Array(n + 1).fill(0);
    G[0] = 1;
    G[1] = 1;
    
    for(let i = 2; i <= n; i++)
        for(let j = 1; j <= i; j++) 
            G[i] += G[j-1] * G[i-j];
    
    return G[n]; 
};

• 时间复杂度 : O($n^2$) ，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。G(n) 函数一共有 n 个值需要求解，每次求解需要 O(n) 的时间复杂度，因此总时间复杂度为 O($n^2$)

• 空间复杂度 : O(n)

思路二： 数学公式

$C_0 = 1, C_{n+1} = {2(2n + 1)\over n + 2}C_n$

实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function(n) {
    let C = 1;
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return C;
}; 

• 时间复杂度 : O(n) ，其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。我们只需要循环遍历一次即可。
• 空间复杂度 : O(1)

参考资料

leetcode.cn/problems/un…