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对KMP的思考

KMP算法是字符串匹配的经典算法之一，能将暴力匹配的复杂度从$O(n^2)$降低到$O(n)$。在了解KMP之前，我们先来看看暴力匹配字符串的实现。

给定一个带匹配字符串str = “abababc”和一个模板串t = “ababc”，返回模板串在带匹配串中的下标。 设一个指针i在str上移动，指针j在t上移动，当i指向索引4即“b”的时候，j指针指向“c”，此时发生不匹配的情况，于是i指针重新指向索引1，j指针索引0，进行下一轮匹配，直到模板串匹配完成。

很明显，暴力求解将整个待匹配的字符串重复循环，其时间复杂度是较高的，那么有什么办法可以优化呢？

如果我们只让i向前移动，不进行回退，那么就可以将算法优化为线性时间。例如在上图中，在索引4的位置发生了不匹配，但是发生不匹配的前两位和模板串的开头两位是匹配的，因此我们不回退i指针，让j指针跳过模板串的前两位，从第三位继续匹配。

对于已经遍历过的子串，我们是否可以从中再发掘一些信息呢？我们将发送不匹配的点称为错误点，从中我们可以看出，错误点的前两位和模板串的前两位是匹配的，我们将错误点之前的串提取为一个子串。在这个子串中，最长的相等的前后缀，其长度为2即“ab”，因此如果我们在这个子串的下一位发生了不匹配，那么就说明，错误点的前两位必定是“ab”，此时再进行匹配的时候，我们就可以跳过模板串的前两位

对于前后缀，上述可能表示的不是很清楚。此时的前缀是指不包含最后一个字符的前缀，后缀指的是不包含第一个字符的后缀。例如“abab”，其前缀有“a”、“ab”、“aba”，其后缀有“b”、“ab”、“bab”。

由此引申除了KMP算法中的核心——next数组，我们为模板串的每一位都计算一个值，这个值的意思就是，当下一位发生发生不匹配的时候，让j指针跳过模板串的next[ j - 1 ]位。

此时我们再来看KMP算法的字符串匹配情况

还是在索引4发生了不匹配，但是此时我们有了next数组，通过查询错误点前一位的next数组值，等于2，因此我们将跳过模板串的前两位，此时再向后移动i、j指针继续检查，不必再回退i指针，我们的算法就被优化为了线性时间。

下面是KMP算法的代码

public int kmp(String str, String sub) {
    int[] next = findNext(sub);
    int i = 0, j = 0;
    while (i < str.length() && j < sub.length()) {
        if (str.charAt(i) == sub.charAt(j)) {
            i++;
            j++;
        } else if (j > 0) {
            j = next[j - 1];
        } else {
            i++;
        }
    }
    if (j == sub.length()) {
        return i - j;
    } else {
        //不存在则返回-1
        return -1;
    }
}

next数组求解

特别说明，此时KMP算法中的next数组并不是原KMP算法中表达的意思，我们日常讨论的KMP都是经过简化处理的。

从前面的讨论我们得出，next数组每一位的值是以该位结尾的模板串的子串，其所对应的最大前后缀长度

顺着这个思路我们先暴力求解一下next数组，设模板串为“abacabab”。显然next数组第一位均为0即next[0] = 0，索引1的子串“ab”其最长相等前后缀的长度也为0，next[1] = 0，子串“aba”其最长相等前后缀的长度为1，以此类推，“abac”其next[3] = 0,“abaca”其next[4] = 1。

此时我们发现，当我们找到第一个相等前后缀的时候，我们可以判断这个字符的下一位是否相等，如果相等则可以直接让前后缀的长度加一，可如果不相等呢？对于上述模板串的子串“abacaba”其最大前后缀长度为3，然而其下一个子串“abacabab”，我们难道又要暴力求解吗？

对于“abacaba”其存在长度为3的相等的前后缀，我们以“aba”为基础判断加上下一个字符是否也满足相等的前后缀是行不通的，又因为左边的子串等于右边的子串（都是“aba”），所以左边子串的最长的前缀一定等于右边子串的最长后缀即“a”，我们就以“aba”的最长前后缀即“a”为基础再进行后面的查找，如果加上下一个字符任然没有最长前后缀，我们就查“a”的最长前后缀，又因为“a”的最长前后缀为0，所以其next值为0。

有了思路算法就很好实现了

public int[] findNext(String str) {
    if (str.length() == 1) {
        return new int[] {0};
    }
    int[] next = new int[str.length()];
    next[0] = 0;
    int prefixNum = 0;
    for (int i = 1; i < str.length(); i++) {
        if (str.charAt(i) == next[prefixNum]) {
            prefixNum++;
            next[i] = prefixNum;
        } else if (prefixNum == 0) {
            next[i] = prefixNum;
        } else {
            next[i] = prefixNum - 1;
        }
    }
    return next;
}