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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7 输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2 输出：3 解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

思路：

定义dp[i,j]为机器人走到[i,j]位置一共有的不同路径

1. 对于第一行位置的网格，只有从开始位置一直往右走这一种走法才能到达，所以dp[i][0]=1。
2. 对于第一列位置的网格，只有从开始位置一直往下走这一种走法才能到达，所以dp[0][j]=1。
3. 其余位置可以选择往右或者往下走然后抵达，所以到达它的路径为上边位置和左边位置的和，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
4. 起始点路径dp[0,0]=0。

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

代码如下：

fun uniquePaths(m: Int, n: Int): Int {
    val dp = Array(m) { IntArray(n) }
    for (i in 0 until m) {
        dp[i][0] = 1
    }
    for (j in 0 until n) {
        dp[0][j] = 1
    }
    for (i in 1 until m) {
        for (j in 1 until n) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1]
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m*n)
• 空间复杂度：O(m∗n)，需要存储所有的状态，是一个二维数组。