我正在参加「掘金·启航计划」，这是我的第 3 篇文章。
放低心态、认真学习，机会总是留给不断努力的自己
有同学看了之前的文章，私信我不懂如何计算时间复杂度和空间复杂度，有的甚至不明白如何定义这个。本篇文章就简单阐述一下时间、空间复杂度分析。
其实，如果你想学习数据结构与算法，就必须要掌握时间、空间复杂度分析。我个人愚见，复杂度分析是算法学习的必要条件也是学习算法的精髓，学会了，数据结构和算法就会了一半。
1 为什么要进行复杂度分析?
有的 xdm 说，我通过监控就能看到每次代码执行的时间和内存占用情况。为什么需要做时间、空间复杂度分析呢？这两种哪个数据更加精准呢？
确实，通过监控查看到的算法执行效率这种是正确的，但是这种方法是有很大的局限性的。
1.1 依赖环境影响
运行结果依赖环境的硬件，如，同一份代码用 M1 和 M1 Pro 处理器来运行，M1 Pro 的结果会更快。换了其他环境也会不一样。
1.2 数据规模影响
在排序算法中，同一个排序算法，原始数据的有序度不一致也会导致时间会有不一样。若数据是已经排序好的，算法就不需要做任何排序操作，很显然时间也就很短。
若测试数据太少，测试的结果可能不能很准确的反应算法的性能。如，对于较少的数据排序，快速排序相对于插入排序就会要慢。
所以，我们在评估算法的执行效率的时候就需要抛开这些情况。时间、空间复杂度分析这种方法就是为了解决这类问题。
2 大O复杂度表示法
什么事算法的执行效率？简单来说就是算法的执行时间。我们在运行代码之前，就应该能评估出来执行的时间是多少。分析一下下方代码，我们求 1,2,3,4... n 的和。我们一起评估一下该代码需要的时间。
假设每行语句的执行时间是 unit_time。在这个之上，那我们分析一下上面这段代码总执行时间 T(n) 会是多少。
首先第 2、3 行，每行需要 1 个 unit_time 的时间，4、5 行循环了 n 遍，需要 2n * unit_time 个时间，所以这段代码需要执行的时间是 (2n + 2) * unit_time。
按照这个分析思路，我们再来看这段代码：
若每行执行时间是unit_time，那上面代码的总执行时间T(n)是多少？
2、3、4 行每个需要 1 个 unit_time 的执行时间， 5、6 行循环 n 遍，需要 2n unit_time，7、8行共执行了 遍。共需要 t(n) = (2 + 2n +3) unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。 我们可以把这个规律总结成一个公式。
上面这个公式。其中 T(n) 代表 执行代码需要的时间，n 表示数据规模的大小，f(n) 表示每行代码执行的总次数。f(n) 代表的是一个公式。公式中的 O 表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以，第一个代码中 T(n) = O(2n+2)，第二个代码中的 T(n)= O(2n + 2n + 3)。这就是大 O 时间复杂度法，其中大 O 并不是表示代码真正的执行时间，而是代码随着数据规模增长的变化趋势。这就是时间复杂度。
有一点，当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以的都可以被忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以 了，如果用大 O 表示法表示刚讲的上面代码的时间复杂度，就可以表示为:T(n) = O(n); T(n) = O(n2)。
3 时间复杂度分析
如何分析一段代码的时间复杂度呢？我一般是结合下面三种方法的。
3.1 执行多的代码块
上面说的大O这种复杂度表示方法只是表示数据规模增长的变化趋势。其中会忽略公式中的常量、系数、低阶。只要记录一个最大阶的量级就可以。所以，我们分析算法时间复杂度的时候，只需要关注循环次数最多的那一处代码，这段核心代码执行次数的n的量级，就是我们要分析的时间复杂度了。
还拿上面第一段代码来分析，加深理解。
从中可以看出，我们只需要关注 4、5 行代码即可，其中 2、3 行都是常量的执行时间，不会受到 n 的数据大小影响。对复杂度并没有影响。只需要重点分析循环部分。所以总的时间复杂度就是 O(n)。
3.2 加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
可以先分析一下下面这段代码，看下我们是否想的一样
这段代码一个简单的求和。共三个部分，我们试着分析一下对应的时间复杂度。然后取一个量级最大的作为整个代码的复杂度。
2~6 行时间复杂度很明显是一个常量执行的时间，共循环了 100 次，与 n 的规模大小无关。
说明一下。这段代码哪怕循环 10000 次还是 1000000次，只要和 n 的数据规模无关，均可被认为是常量的执行时间。尽管对代码的执行时间会有影响，时间复杂度表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势。所以不管常量执行的时间多大，都被忽略不计。因为它没有影响到增长趋势。
我们接下来看下 711、1220 行对应的复杂度，其实上面已经说过了，是O(n) 和 O 。想信大家一眼就能分析出来。结合一下，我们取最大量级。所以时间复杂度就是 O 。也就是量级最大时间的就是整个代码的时间复杂度。
用公式表示：
T1(n) = O(f(n)), T2(n) = O(g(n)); 则 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))。
3.3 乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
我们看下下面这个乘法法则代码，分析下时间复杂度。
cal 函数，4~6行 时间复杂度为 O(n)。但是 f() 函数时间复杂度也是 O(n)，cal 函数总的时间复杂度就是 T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O 。
所以乘法法则就是 假设T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则T1(n) * T2(n) = O 。
4 几种常见时间复杂度实例分析
接下来，我们讲下常见的时间复杂度的案例吧。
4.1 O(1)
O(1) 其实就是常量级的时间复杂度表示方法。当然并不是指一行。上面说得例子就有，多行的时间复杂度也是O(1)。比如：
时间复杂度并不是 O(2)，而是 O(1）。
记住。只要执行的时间不是随着 n 的数据规模增大的，这样的时间复杂度都为 O(1)。大多数情况下，只要代码中不存在循环语句、递归语 句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)
4.2 O(logn) 、O(nlogn)
对数求时间复杂度还是比较难的，上面例子中，i 从 1开始，每次循环 * 3。当大于 n 时，循环结束。其实可以看出这就是等比数列。变量 i 的取值就是一个等比数列。
其中当我们知道 k 多少时，就能知道执行的次数了。 通过 得出 k= log。所以时间复杂度就是O(log)。
实际上，不管是以3为底、以4为底，还是以5为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。
有人会问为什么？其实很简单。
因为对数是可以互相转换。log3n就等于，所以 ，其中 C= 是一个常量。所以我们就可以忽略底了，就可以表示为 O(logn)。
如果 O(logn) 知道了，那么 O(nlogn) 就简单了。首先，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
上面讲到的乘法法则，如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行n遍，时间复 杂度就是 O(nlogn) 了。
5 空间复杂度分析
我们上面都在说时间复杂度分析和大O表示法，如果都理解了，那么这空间复杂度分析就简单了。
首先，时间复杂度表示算法执行时间与数据规模之间的增长关系。空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。看下面一段代码
我们可以看出第 2 行时常量，可以忽略，第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 切片（ Go 中叫做切片，可以理解成数组），除了这些，剩下的代码都没有占用空间了，所以空间复杂度为 O(n).
空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。 所以，这里就讲这么多了!
6 总结
复杂度包含时间、空间复杂度，主要用于分析算法执行效率与数据规模直接的增长关系。在日常中，往往越高级复杂度的算法，执行效率会偏低。常见的有O(1) > O(logn) > O(n) > O(nlogn) > 。
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