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题目连接

Problem - D - Codeforces

题目大意

题目描述

给你一棵有根树，由 $n$ 个顶点组成。顶点编号从 1 到 n，根是顶点 1。

最多可以执行以下操作 $k$ 次：

1. 选择树的边 $(v,u)$，使得 v 是 u 的父亲节点；

2. 删除边 $(v,u)$;

3. 添加一条边 $(1,u)$（即，使 u 及其子树成为根的子树）。

定义树的高度是它的所有顶点中深度最大的顶点的深度，而顶点的深度是从根到它的路径上的边数。例如，顶点 1 的深度为 0，因为它是根，顶点 1 所有子节点的深度为 1。

执行 $k$ 次操作后可以达到的树的最小高度是多少？

输入描述

第一行包含一个整数 $t(1≤t≤10000)$，表示测试用例的数量。

每个测试用例的第一行包含两个整数 $n$ 和 $k\ (2≤n≤2\times 10^5; 0≤k≤n−1)$——树中的顶点数和您可以执行的最大操作数。

第二行包含 n−1 个整数 $p2,p3,…,pn (1≤p_i<i)$，表示第 i 个顶点的父节点。顶点 1 是树的根。

所有测试用例的 n 总和不超过 $2\times 10^5$。

输出描述

对于每个测试用例，打印一个整数 - 通过执行最多 k 操作可以实现的树的最小高度。

思路

易知操作之间不相互依赖，我们可以自由地重新安排操作。

我们单次操作不会影响到点 u 子树外其他点的深度。想象一下，如果我们按照顶点的深度用大到小进行操作，即可避免先操作了点 u，后操作以 u 为根节点的子树中的点的情况。

如果我们知道我们想要得到什么高度 h，我们切割下了点 u 并将它连接到了根节点上，那么以节点 u 为根节点的子树中的点距离点 u 的边数一定不超过 h-1，否则重新连接后该子树中就会存在点的深度大于 h，与我们之前决定的策略不符。所以当节点 u 被切下，其子树中所有的节点都可以看做不存在。

最多需要多少次操作才能使树的高度达到 h？显然，这个问题的答案随着 h 的增加而减少。因此，我们将能够对其应用二分来找到我们最多 k 次操作可以达到的最小高度。

当我们二分到一个答案 h 之后，我们要反复选择高度最多为 h-1 的子树并将它们切断，直到树的高度变为最多 h。显然最佳策略是切割最深顶点的第 h-1 层父节点，因为最深顶点到它的第 h-1 层父节点之间必然需要选择一个节点将其切下，我们希望使得剩下的节点深度尽可能小。

代码

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <string.h>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=200001;
const long long mod=1000000007;
//  const long long mod=998244353;
struct asdf{
	int dep,id;
}a[N];
int n,m,k,f[N];
vector<int> e[N];
int cmp(asdf a,asdf b)
{
	return a.dep<b.dep;
}
void dfs(int u)
{
	for (auto v:e[u])
	{
		a[v].dep=a[u].dep+1;
		dfs(v);
	}
}
int vv[N];
void set0(int u)
{
	vv[u]=1;
	for (auto v:e[u])
	{
		if (vv[v]) continue;
		set0(v);
	}
}
int check(int h)
{
	int cnt=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) vv[i]=0;
	for (int i=n,g;i>=1;--i)
	{
		if (vv[a[i].id]) continue;
		if (a[i].dep<=h) break;
		g=a[i].id;
		for (int j=1;j<=h-1;++j) g=f[g];
		set0(g);
		cnt++;
	}
	return cnt<=k;
}
int T;
int solve()
{
	for (int i=1;i<=n;++i) e[i].clear();
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d",&k);
	for (int i=1;i<=n;++i) a[i].id=i;
	for (int i=2;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&f[i]);
		e[f[i]].push_back(i);
	}
	a[1].dep=0;
	dfs(1);
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	int l=1,r=n,mid;
	while (l!=r)
	{
		mid=l+r>>1;
		if (check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",l);
	return 0;
}
int main()
{
        for (scanf("%d",&T);T--;) solve();
        return 0;
}