B-S模型建立与B-S方程导出

white哥
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B-S模型属于期权定价方法中的偏微分方法，本文需要有一定随机分析基础，可以去看《金融数学》相关课程补充

B-S 模型与几何布朗运动

在B-S模型当中，假设期权标的资产价格的演化服从几何布朗运动，即：

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)\begin{aligned} dS(t)=\mu S(t)dt + \sigma S(t)dW(t) \end{aligned}

其中：μ\mu和σ\sigma均是常数，分别是标的资产 SS 的漂移率和波动率；W(t)W(t) 是标准布朗运动。 由于期权是由标的资产衍生而来，因此其价格变动受到标的资产价格的影响。记期权的价格为f[S(t)]f[S(t)]。

期权价格的随机偏微分方程 (SPDE)

根据伊藤引理可得：

df=∂f∂tdt+∂f∂SdS+12∂2f∂S2[dS]2=[∂f∂t+μS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2]dt+σS∂f∂SdW(t)\begin{aligned} d f&=\frac{\partial f}{\partial t}d t+\frac{\partial f}{\partial S}d S+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}[d S]^2\\ &=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right]d t+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}d W(t) \end{aligned}

资产组合的构建

假设构造的组合中包含了一份期权，以及 Δ\Delta 份标的资产，并将该组合的总价值记为 Π\Pi，因此：

Π=f+ΔS\begin{aligned} \Pi=f+\Delta S \end{aligned}

将下式代入上式

{dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t)df=[∂f∂t+μS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2]dt+σS∂f∂SdW(t)\begin{aligned} \begin{cases} d S(t)=\mu S(t)d t+\sigma S(t)d W(t)\\ d f=\left[\dfrac{\partial f}{\partial t}+\mu S\dfrac{\partial f}{\partial S}+\dfrac{1}{2}\sigma^2S^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right]d t+\sigma S\dfrac{\partial f}{\partial S}d W(t) \end{cases} \end{aligned}

得到

dΠ=[∂f∂t+μS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2+ΔμS]dt+[σS∂f∂S+ΔσS]dW(t)\begin{aligned} d \Pi=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}+\Delta\mu S \right]d t+\left[\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}+\Delta\sigma S\right]d W(t) \end{aligned}

接下来，令上式中的 dW(t)dW(t) 项取值为零，则意味着：

Δ=−∂f∂S\Delta=-\frac{\partial f}{\partial S}

此时，组合 Π\Pi 的价格变动不受随机因素的影响，对应地：

dΠ=[∂f∂t+12σ2S2∂2f∂S2]dt\begin{aligned} d \Pi=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right]d t \end{aligned}

投资组合的价值变动仅与时间 tt 的变动有关，该组合已经消除了随机因素带来的不确定性。

无风险资产组合

根据无套利定价原理，该投资组合的收益率应该等于无风险利率 rr 。因此在连续复利计息下，下式成立：

Π(T)=Π(t)er(T−t)\Pi(T)=\Pi(t)e^{r(T-t)}

与之对应的微分方程如下：

dΠ=rΠ dtd \Pi=r\Pi\ d t

与dΠ=[∂f∂t+12σ2S2∂2f∂S2]dtd \Pi=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right]d t联立，可得：

[∂f∂t+12σ2S2∂2f∂S2]dt=r[f−∂f∂SS]dt\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right]dt=r\left[f-\frac{\partial f}{\partial S} S\right]dt

整理可得：

∂f∂t+rS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2=rf\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} =rf \end{aligned}

上式就是著名的B-S偏微分方程 。 求解该方程，最终得到的 f[S(t)]f[S(t)] 就是期权的合理价格。

这个偏微分方程有很多解，为此需要添加必要的边界条件才有可能得到唯一的解。

给出欧式看涨、看跌期权的解

看涨期权

CEu(K,t;S)=SN(d1)−e−r(T−r)KN(d2)C^{Eu}(K,t;S) = SN(d_1)-e^{-r(T-r)}KN(d_2)

看跌期权

PEu(K,t;S)=−SN(−d1)+e−r(T−r)KN(−d2)P^{Eu}(K,t;S) = -SN(-d_1)+e^{-r(T-r)}KN(-d_2)

其中

{d1=log(S/K)+(r+12σ2)(T−t)σT−td2=log(S/K)+(r−12σ2)(T−t)σT−t\left\{\begin{matrix} &d_1 = \frac{log(S/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma ^2 )(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t} } \\ &d_2 = \frac{log(S/K)+(r-\frac{1}{2}\sigma ^2 )(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t} } \end{matrix}\right.
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