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二叉查找树

二叉查找树(又叫作二叉搜索树或二叉排序树)是一种数据结构，采用了图的树形结构。数据存储于二叉查找树的各个结点中

图示

01

结点中的数字便是存储的数据。此处以不存在相同数字为前提进行说明

02

二叉查找树有两个性质。第一个是每个结点的值均大于其左子树上任意一个结点的值。比如结点9大于其左子树上的3和8

03

同样，结点15也大于其左子树上任意一个结点的值

04

第二个是每个结点的值均小于其右子树上任意一个结点的值。比如结点15小于其右子树上的23、17和28

05

根据这两个性质可以得到以下结论。首先，二叉查找树的最小结点要从顶端开始，往其左下的末端寻找。此处最小值为3

06

反过来，二叉查找树的最大结点要从顶端开始，往其右下的末端寻找。此处最大值为28

07

试着往二叉查找树添加数据，如添加数字1

08

首先，从二叉查找树的顶端结点开始寻找添加数字的位置。将想要添加的1与该结点中的值进行比较，小于它则往左移，大于它则往右移

09

1<9,故将1左移

10

由于1<3，所以继续将1往左移，但前面已经没有结点了，所以把1作为新结点添加到左下方

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1的添加操作完成

12

试着添加数字4

13

首先寻找添加数字的位置

14

4<9，左移

15

4>3,右移

16

由于4<8，所以需要将其往左移，但前面已经没有结点了，所以把4作为新结点添加到左下方

17

4的添加操作完成

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接下来看看如何在二叉查找树中删除结点。比如删除结点28

19

若需要删除的结点没有子结点，直接删掉该结点即可

20

试着删除结点8

21

如果需要删除的结点只有一个子结点，那么先删掉目标结点

22

然后把子结点移到被删除结点的位置上即可

23

最后试着删除结点9

24

如果需要删除的结点有两个子结点，那么先删掉目标结点

25

然后在被删除结点的左子树中寻找最大结点

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最后将最大结点移到被删除结点的位置上。这样一来，就能在满足二叉查找树性质的前提下删除结点了。如果需要移动的结点(此处为4)还有子结点，就递归执行前面的操作

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下面来看如何在二叉树中查找结点，比如试着查找12

28

从二叉查找树的顶端结点开始往下查找。和添加数据时一样，把12和结点中的值进行比较，小于该结点的值则往左移，大于则往右移

提示：删除9的时候，我们将“左子树中的最大结点”移动到了删除结点的位置上，但是根据二叉查找树的性质可知，移动“右子树中的最小结点”也没有问题

29

12>4,右移

30

找到结点12

解说
我们可以把二叉查找树当作是二分查找算法思想的树形结构体现(二分查找的详细说明在3-2节)。因为它具有前面提到的那两个性质，所以在查找数据或寻找适合添加数据的位置时，只要将其和现有的数据比较大小，就可以根据比较结果得知该往哪边移动了。
比较的次数取决于树的高度。所以如果结点数为n，而且树的形状又较为均衡的话，比较大小和移动的次数最多就是log，n。因此，时间复杂度为O(logn)。但是，如果树的形状朝单侧纵向延伸，树就会变得很高，此时时间复杂度也就变成了O(n)。

补充说明
有很多以二叉查找树为基础扩展的数据结构，比如“平衡二叉查找树”。这种数据结构可以修正形状不均衡的树，让其始终保持均衡形态，以提高查找效率。
另外，虽然文中介绍的二叉查找树中一个结点最多有两个子结点，但我们可以把子结点数扩展为m(m为预先设定好的常数)。像这种子结点数可以自由设定，并且形状均衡的树便是B树。