【C/C++】952. 按公因数计算最大组件大小持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第

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题目链接：952. 按公因数计算最大组件大小

题目描述

给定一个由不同正整数的组成的非空数组 nums ，考虑下面的图：

有 nums.length 个节点，按从 nums[0] 到 nums[nums.length - 1] 标记；
只有当 nums[i] 和 nums[j] 共用一个大于 1 的公因数时，nums[i] 和 nums[j] 之间才有一条边。

返回 图中最大连通组件的大小 。

提示:

$1 \leqslant nums.length \leqslant 2 * 10^4$
$1 \leqslant nums[i] \leqslant 10^5$
nums 中所有值都不同

示例 1：

输入： nums = [4,6,15,35]
输出： 4

示例 2：

输入： nums = [20,50,9,63]
输出： 2

示例 3：

输入： nums = [2,3,6,7,4,12,21,39]
输出： 8

整理题意

题目给定一个正整数数组 nums，规定数组中任意两个数如果公约数大于 1 那么这两个整数之间有一条无向边。题目要求返回图中最大连通块的元素个数。

解题思路分析

由于题目数据范围较大，建图所需的时间就已经 TLE 超时了，所以我们无法通过建图再遍历的方法来完成。

通过联通组件可以想到连通块，连通块又可以想到并查集，因为并查集是用来处理连通块的。

那么首先考虑如何进行并操作，由于数据范围较大的原因，无法对数组中的整数进行俩俩判断。
那么考虑对于数组中的每一个整数来说，我们可以找到当前整数所有大于等于 2 的因子，将当前整数与这些因子进行并集操作（由于整数最大为 $10^5$ ，寻找因子的时间复杂度为 $O(n \log n)$ ，是可以接受的），也就是当前整数与它的所有大于等于 2 的因子都是连通组件。

通过这样的并集操作，可以将数组中的所有整数进行分类，并且是通过他们的因子来进行连接的。

最后遍历数组中的所有正整数，查找当前这个整数属于哪个集合，维护集合大小，最后输出集合最大值即可。

具体实现

将每个整数与它的因子（大于等于 2 的因子）进行连接（并集操作）；
通过并查集算法可以得到连接后的每个连通块；
遍历整数数组，记录每个连通块中包含整数的个数，同时维护最大值即可。

复杂度分析

时间复杂度： $O(n \times \alpha(n) \times \sqrt{m})$ ，其中 n 是数组 nums 的长度，m 是数组 nums 中的最大元素， $\alpha$ 是反阿克曼函数。这里的并查集使用了路径压缩，单次操作的时间复杂度是 $O(\alpha(n))$ ，对于每个元素需要遍历 $O(\sqrt{m})$ 个数字寻找公因数并执行合并操作，总操作次数是 $O(n \times \sqrt{m})$ ，因此整个数组的并查集操作的时间复杂度是 $O(n \times \alpha(n) \times \sqrt{m})$ ，并查集操作之后需要 $O(n \times \alpha(n))$ 的时间再次遍历数组计算最大组件大小，因此总时间复杂度是 $O(n \times \alpha(n) \times \sqrt{m})$ 。
空间复杂度： $O(m)$ ，其中 m 是数组 nums 中的最大元素。并查集和统计组件大小都需要 $O(m)$ 的空间。

代码实现

class Solution {
    // 并查集模板
    vector<int> father;
    // 查找 x 所在集合的根节点
    int Find(int x){
        return father[x] == x ? x : father[x] = Find(father[x]);
        // father[x] = Find(father[x]) 为路径压缩操作
        // 这样可以使得查找效率提升
    }
    // 将 x 所在的集合和 y 所在的集合进行合并操作
    void Union(int x, int y){
        int fx = Find(x);
        int fy = Find(y);
        if(fx != fy) father[fx] = fy;
    }
public:
    int largestComponentSize(vector<int>& nums) {
        // 找到 nums 数组中的最大值 m
        int m = 0;
        for(int &num : nums) m = max(m, num);
        // 初始化并查集 father 数组
        father.resize(m + 1);
        for(int i = 0; i <= m; i++) father[i] = i;
        // 将 [2, m] 之内的所有整数进行归类
        // 也就是将公约数大于 1 的放入一个集合
        for(int &num : nums){
            // 找到 num 所有大于等于 2 的因子将其与 num 放入一个集合
            for(int i = 2; i * i <= num; i++){
                // i 为 num 的因子
                if(num % i == 0){
                    Union(num, i);
                    // num / i 也同为 num 的因子
                    Union(num, num / i);
                }
            }
        }
        // 统计每个集合中包含数组中元素的个数
        // 这里使用数组比哈希表更节省空间和时间
        int mp[m + 1];
        memset(mp, 0, sizeof(mp));
        int res = 0;
        for(int &num : nums){
            // 找到 num 所在集合的根节点，记录该集合个数
            mp[Find(num)]++;
            // 维护答案最大值
            res = max(res, mp[Find(num)]);
        }
        return res;
    }
};

总结

该题很容易想到使用 并查集，但难点在于思考如何将这些整数进行连接，核心的连接方法是：通过每个数大于等于 2 的因子来进行连接的。
并查集的 Find() 函数需要注意使用路径压缩来提高查找效率。
在寻找一个整数 x 的因子时我们只需要遍历到 $\sqrt{x}$ 的位置即可，这时因为：如果 i 为 x 的因子，那么 x / i 也为 x 的因子。
测试结果：

952.按公因数计算最大组件大小.png

结束语

与其幻想一蹴而就的成功，不如积累一点一滴的进步。认真做好眼下的每一件事，享受每一个小成就带来的喜悦，去遇见因为努力而变得更美好的自己。新的一天，加油！