有符号整数
一个数在计算机中的二进制表示称为机器数,这个机器数是带符号的。它的最高位是符号位,0 代表正数,1 代表负数。
以 8 位有符号整数为例,0000 0001
代表十进制中的 1,1000 0001
则代表十进制中的 -1。
那么,你可能会问了:这样一来,8 位有符号整数的可表达范围应当是 [1111 1111
, 0111 1111
],即 [-127, 127],但实际上它的可表达范围却是 [-128, 127],那么 -128 又从何而来呢?
想要理解 -128 的来历,我们还要知道原码、反码和补码的概念。
原码、反码和补码
计算机需要使用特定的编码方式存储数据,原码、反码和补码都是一种特定的编码方式。以下示例均以 8 位二进制数举例。
原码
原码是「未经更改的码」,指一个二进制数左边加上符号位后所得到的码。
- 当二进制数大于 0 时,符号位为 0
- 当二进制数小于 0 时,符号位为 1
因此,用这种编码方式表示有符号的 8 位二进制数,它的取值范围是 [1111 1111
, 0111 1111
],即 [-127, 127]。
如果我们使用原码计算 (+1) + (-1)
会得到什么结果呢?
(+1) + (-1) =
0000 0001(原码)
+
1000 0001(原码)
=
1000 0010(原码)
=
(-2)
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What? 等于 -2 了?这显然是错误的答案。
反码
为了解决「正负数相加」的问题,人类又发明了反码。
反码的表示方式为:
- 正数的反码等于它的原码
- 负数的反码则保留其原码符号位,然后对其他位进行取反操作
取反操作:将 0 变为 1,1 变为 0。
此时,用反码来计算 (+1) + (-1)
:
(+1) + (-1) =
0000 0001(反码)
+
1111 1110(反码)
=
1111 1111(反码)
=
(-0)
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我们知道,0 的原码是 0000 0000
或 1000 0000
,0 的反码就是 0000 0000
或 1111 1111
。即在反码中,1111 1111
象征 -0
,我们终于求出了正确的结果。
补码
但反码的表示方法中存在着 +0
和 -0
两个零,我们希望只有一个 0,所以补码[^3]出现了。
补码的表示方式为:
- 正数的补码是其本身
- 负数的补码是在它的反码基础上加 1
由于 +1
的操作,必将出现进位,如果进位超过长度限制,最高位就会丢失。
会发生最高位丢失的数就是 -0
的反码表示 1111 1111
,它的补码为 1 0000 0000
。由于长度是 8 位,最高位的 1 已经溢出,所以丢弃,-0
的补码就成了 0000 0000
,和刚才我们所提到的 +0
完美重合了!
用补码来计算 (+1) + (-1)
:
(+1) + (-1) =
0000 0001(补码)
+
1111 1111(补码)
=
0000 0000(补码)
=
(0)
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答案正确!
因此,计算机内部使用补码方式表示负数,因为它让「正数 + 负数」也能使用同一套加法规则,使得所有的加法运算可以使用同一种电路完成。
-128 的由来
上面我们说到如果用补码的方式进行表示,-0
就不存在了,为了让有限的位数尽可能表示更多的数,省下的 1000 0000
就用来表示 -128
了。
让我们用补码来计算一下 (-1) + (-127)
:
(-1) + (-127) =
1000 0001(原码)+
1111 1111(原码)
=
1111 1110(反码)+
1000 0000(反码)
=
1111 1111(补码)+
1000 0001(补码)
=
1 1000 0000(补码)
=
1000 0000(丢弃最高位)
=
(-128)
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(-1) + (-127)
的结果正是 -128。但由于 1000 0000
是 -0
的补码,所以 -128
没有与之对应的原码和反码表示。
作者:江不知
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来源:稀土掘金
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