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ACM2022河南省赛——J. Mex Tree

Problem J. Mex Tree

小水獭幼儿园的同学们都十分擅长图论内容，作为优等生的 JJLeo 更是如此。

某天，隔壁金州幼儿园的 Bellalabella 向 JJLeo 请教了这样一个问题。

给定一棵 n 个点的树，编号为 1, 2, . . . , n，第 i 个点的权值为 vi，v1, v2, . . . , vn 是 0, 1, . . . , n − 1 的一个排列。对于 k = 0, 1, . . . , n，Bellalabella 想找到这棵树的一个非空连通子图，其点集 S 满足 mex({vi| i ∈ S})恰好为 k。如果存在这样的非空连通子图，Bellalabella 想知道点数最多的非空连通子图有多少个点。其中 mex(S) 表示不属于 S 的最小非负整数，例如：

mex({0, 1, 2}) = 3，因为 0, 1, 2 均在 {0, 1, 2} 中，而 3 是不在集合中的最小非负整数。
mex({1, 2}) = 0，因为 0 不在集合中。

JJLeo 虽然精通树的知识，但是对于 mex 运算却毫无办法，你能帮他解决这个问题吗？

输入

第一行，一个整数 n（1 ≤ n ≤ 106），表示树的结点个数。第二行，n 个整数 v1, v2, . . . , vn，表示每个点的权值。保证 v1, v2, . . . , vn 是 0, 1, . . . , n − 1 的一个排列。若 n > 1，第三行，n − 1 个整数 f2, f3, . . . , fn（fi < i），表示树上存在边 (fi, i)。

输出

一行以空格分隔的 n + 1 个整数，当 k = i（i = 0, 1, . . . , n）时，若不存在满足条件的非空连通子图，第 i + 1 个数为 0，否则第 i + 1 个数为满足条件且点数最多的非空连通子图的点数。

样例

问题解析

首先对于这类不给定根的树，我们可以假设一个点作为他的根来简化问题，这里设0作为它的根。

然后我们知道，如果想要一个连通块的mex为k，那么这个连通块中要包含所有小于k的点。

那么，对于一个mex为k的连通块，我们分类讨论：

当k=0时，如果点0连着的只有一个孩子，答案就是这个孩子的大小；如果连着的多个孩子，那么显然我们只能选一个孩子，如果要选多个，为了保证他们是连通块我们则要选上0，这样mex就不是0了，所以我们只能选择其中一个孩子，因为我们想要连通块点最多，所以当k等于0时，答案就是0的子树中，点最多的那一个
当k=(1,2,……,n-1)时，由于0是根节点了，所以如果有答案，则可能的答案是：除了点k这棵树以外的所有点，因为如果我们选择点k的子树，他的子树一定没有0，mex会是0，不满足mex是k。所以可能的答案只能是除去点k这一整颗树之外的所有点。但如果它的子树里有一个点的值u小于k，说明外界的那些点没有u，那么外界连通块的mex是u，也不满足k，此时答案是0。
当k=n时，我们直接选择整棵树即可。

所以，我们可以一遍dfs来求每个子树所包含的最小值和子树的大小size。如果k树的最小值mn小于k，则答案为0；否则答案为n-size[k]

时间复杂度：O(n)； （dfs只用每个点跑一遍）

空间复杂度：O(n);

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include <random>
#include<numeric>
#include<string>
#include<string.h>
#include<iterator>
#include<fstream>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<stack>
#include<list>
#include<queue>
#include<iomanip>
#include<bitset>

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)

#define endl '\n'
#define int ll
#define PI acos(-1)
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll, ll>PII;
const int N = 1e6 + 50;

vector<int>tree[N];
int a[N], f[N], mysize[N], n;
int dfs(int x, int y)
{
    int mn = 1e9;
    mysize[x] = 1;
    for (auto i : tree[x])
    {
        if (i == y)continue;
        mn = min(mn, dfs(i, x));
        mysize[x] += mysize[i];
    }
    if (mn > x)f[x] = n - mysize[x];
    else f[x] = 0;
    mn = min(mn, x);
    return mn;
}
void solve()
{
    int x, y;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        cin >> x;
        tree[a[i]].push_back(a[x]);
        tree[a[x]].push_back(a[i]);
    }
    dfs(0, -1);
    f[n] = n;
    int mn = 0;
    for (auto i : tree[0])mn = max(mn, mysize[i]);
    f[0] = mn;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        
        cout << f[i] << " ";
    }
}

signed main()
{

    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    int t = 1;
    //cin >> t;

    while (t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

ACM2022河南省赛：J. Mex Tree

ACM2022河南省赛——J. Mex Tree

Problem J. Mex Tree

输入

输出

样例

问题解析

AC代码