“我正在参加「掘金·启航计划」”

假设检验（t检验）

 假设检验的目的是通过构造检验统计量来判断原假设是否正确，常用的原假例如（$\mu_1>\mu_2,\mu_1=\mu_2$），和原假设对应的为备择假设（$\mu_1\leq \mu_2,\mu_1\neq \mu_2$）。通常而言，原假设为保守的一方，备择假设为激进的一方¹，也就是题设中给出的、需要去验证的是备择假设，我们通过证明原假设的过于“不可能”， 从而来证明备择假设的正确性。

原假设与备择假设

 假设检验的核心思路就是构建统计量，通过证明该统计量符合原假设的可能性微乎其微来支持备择假设。²举例而言，假设工厂要求生成产品的质量不小于100g，现从某批次中随机抽取了10个，需要判断这批产品是否符合要求，假定产品的质量符合均值为100,方差为4的正态分布。
 在这样一个问题，我们希望得到的结果是产品的质量大于100g，因此原假设$H_0$为：产品的质量小于均值100,备择假设$H_1$为：产品的质量大于等于均值100。假设检验的原理要求我们证明$H_0$是不太可能发生的，为此我们可以构建检验统计量$T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}$，其中$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i}x_i$，$\mu$为总体的均值，从而在样本属于总体的情况下有$T\sim N(0,1)$(实际上我们基于的假设是产品的质量等于均值100，这一点还没想好怎么去解释)。  统计量构造完成后，我们计算出此次样本的观测值$t=\frac{\sqrt{10}(\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i-100)}{2}$，这个观测值$t$反映除了原假设的离谱程度。倘若计算出的$t$远大于0，对应的$p$值$P(t)=0.001$，那就说明在以0.001的概率出现的样本均值减去总体均值大于$t$的事件都已发生，原假设自然是不合理的，从而支持备择假设。而为了衡量说多小概率的事件发生，我们才能认为原假设是不合理的，存在显著性水平参数$\alpha$，它表明了当观测时间发生对应的小概率程度小于$\alpha$时，我们拒绝原假设，支持备择假设。  以¹中为例，在原假设为真的情况下，我们观测到了一个出现概率为0.0062的“不可能事件”，那么我们只能拒绝原假设。

t检验

 t检验³实际上就是假设检验的一种特殊情况，如果我们明确知道原始数据的分布是正态分布且知道均值和方差，那么直接构造标准正态分布检验统计量即可。但许多情况下虽然我们可以假定总体为正态分布，我们不知道其方差，因此使用其他方式来消去方差参数，构建t分布检验统计量。  t分布的构造定义为分子是标准正态分布，分母是卡方分布⁴除以其自由度开方，以此来消去未知的方差参数。标准正态分布自不必多说，卡方分布定义为多个正态分布样本的平方和$\sum_{i=1}^K x_i^2,x_i\sim N(0,1)$，其中$K$为自由度。通过正态分布我们可以构建卡方分布， 由于正态分布的样本方差为$s^2=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\bar{X})^2$，因此$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$。从而在总体为正态分布的情况下，我们可以构造如下t分布：

可以发现巧妙的消去了未知的$\sigma$参数。

参考

Footnotes

1. 假设检验 ↩ ↩²

2. 假设检验及例题 ↩

3. t检验 ↩

4. 卡方分布 ↩