学习目标：持续创作，加速成长！这是我参与「掘金日新计划 · 10 月更文挑战」的第8天，点击查看活动详情

🏆今日学习目标： 🍀学会求和题目 ✅创作者：贤鱼

请添加图片描述

@TOC

题目

[NOIP2015 普及组] 求和

题目背景

NOIP2015 普及组 T3

题目描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了 $n$ 个格子，格子编号从 $1$ 到 $n$ 。每个格子上都染了一种颜色 $color_i$ 用 $[1,m]$ 当中的一个整数表示），并且写了一个数字 $number_i$ 。

定义一种特殊的三元组： $(x,y,z)$ ，其中 $x,y,z$ 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

$xyz$ 是整数, $x<y<z,y-x=z-y$
$colorx=colorz$

满足上述条件的三元组的分数规定为 $(x+z) \times (number_x+number_z)$ 。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 $10,007$ 所得的余数即可。

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数 $n$ 和 $m,n$ 表纸带上格子的个数， $m$ 表纸带上颜色的种类数。

第二行有 $n$ 用空格隔开的正整数，第 $i$ 数字 $number$ 表纸带上编号为 $i$ 格子上面写的数字。

第三行有 $n$ 用空格隔开的正整数，第 $i$ 数字 $color$ 表纸带上编号为 $i$ 格子染的颜色。

输出格式

一个整数，表示所求的纸带分数除以 $10007$ 所得的余数。

样例 #1

样例输入 #1

6 2
5 5 3 2 2 2
2 2 1 1 2 1

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

15 4
5 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 4
2 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

样例输出 #2

提示

【输入输出样例 1 说明】

纸带如题目描述中的图所示。

所有满足条件的三元组为： $(1, 3, 5), (4, 5, 6)$ 。

所以纸带的分数为 $(1 + 5) \times (5 + 2) + (4 + 6) \times (2 + 2) = 42 + 40 = 82$ 。

对于第 $1$ 组至第 $2$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 5$ ；

对于第 $3$ 组至第 $4$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 100$ ；

对于第 $5$ 组至第 $6$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000$ ，且不存在出现次数超过 $20$ 的颜色；

对于全部 $10$ 组数据， $1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ color_i ≤ m,1≤number_i≤100000$

思路

这道题我们分为两种方法讲 1：20分做法：

题目==要求==中说的非常详细

$xyz$ 是整数, $x<y<z,y-x=z-y$

$colorx=colorz$ 所以我们三层循环遍历一遍肯定能全部找到但是看看数据范围，100000？三层循环要么我炸要么时间复杂度炸所以这种方法只有40分

2：AC做法：

需要用到一些数学内容（童鞋们不要慌，下面有详细解说）首先明确一下目标 1压缩压缩下标 2压缩压缩颜色 ==啊对，就这俩，不多吧，下面来看具体：== 因为 $xyz$ 是整数, $x<y<z,y-x=z-y$ 所以 $2y=x+z$ 所以 $x+y无论如何都为偶数（任何数字*2都为偶数）$ 我们颜色也需要压缩一下，判断颜色的奇偶这里我们用一个==z==数组来储存当前组内有多少数字，就是说单数组复数组，也可以理解为满足要求1的组，再用一个sum来储存前缀和，这个到后面会讲到假设当前数字下标为 $i_n，当前数字的值为num_n$ 所以可以总结出一个式子 $（i_1+i_2）（n_1+n_2）+（i_1+i_3）（n_1+n_3）+（i_1+i_4）（n_1+n_4）+......（i_1+i_n）（n_1+n_n）$ 去括号： $i_1*n_1+i_1*n_2+i_1*n_1+i_1*n_3...+i_1*n_n$ 乱七八糟，我们提取公因式 $i_1*(n_2+....+n_n)+(n-1)*i_1*n_1$ 这里1-n,因为i1不能和他自己组合，所以最后乘的是n-1.提取出所有i1和n1，其他的是不是就是一个等差数列可是还是有些不好表示，我们再处理一下 $i_1*(n_2+...n_n)+i_1*n_1+(n-1)*i_1*n_1-i_1*n_1$ 前面加后面减，结果不变，我们再次提取公因式 $i_1*(n_1+..n_1)+(n-2)*i_1*n_1$ 这样子是不是就做完了，这里我们可以通过前缀和提前获取我们需要的东西，下面来看看代码

代码

==20分做法，不想看的可以跳过==

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c,num[1000001],col[100001];
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>num[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>col[i];
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=i+1;j<=n;j++){
		for(int k=j+1;k<=n;k++){
			if(j-i==k-j&&col[i]==col[k]){//三层循环处理找答案
				ans+=(i+k)*(num[i]+num[k]);
				ans%=10007;
			}
		}
	}
}
cout<<ans%10007;
}

==AC做法：==

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,c,num[1000001],col[100001];//num储存所有数字，col储存颜色
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>num[i];
}
int z[101010][3];//这里储存每个组有多少数字
int sum[1010100][3];//这里储存前缀和
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>col[i];
	z[col[i]][i%2]++;//这个组的数字加1
	sum[col[i]][i%2]=(sum[col[i]][i%2]+num[i])%10007;//这个组前面所有的数字和加上当前加入的数字

}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=(ans+i*(sum[col[i]][i%2]+(z[col[i]][i%2]-2)*num[i]%10007))%10007;
//这里就是按照上面题目所说处理
}
cout<<ans%10007;
}

🏆结束语：

如果有需要的话可以订阅专栏，持续更新 🔥一文了解数据库操作--mysql(25分钟)欢迎你的到来🔥