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1、写在前面

大家好，我是翼同学。今天文章的内容是：

• 时间复杂度

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2、内容

2.1、什么是时间复杂度？

所谓算法时间复杂度就是算法运行的时间度量，是其所求解问题规模$n$的函数，我们不考虑具体的运行时间函数，只考虑时间函数的数量级，这称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。记为$O(f(n))$，称作大$O$表示法。

时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。

因此所谓的时间复杂度就是指最坏情况下，估算算法执行时间的一个上界。

2.2、大O表示法

大$O$表示法取时间函数$f(n)$的主项，而忽略$f(n)$中的常数和低次项。

大$O$表示法给出了时间复杂度的上界，作为算法的最坏情况运行时间的上界，即对任意数据输入的运行时间的上界。

举个例子：

假设某算法的时间函数为$T(n) = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$，此时让我们计算该算法的时间复杂度。利用大$O$表示法中的简化思想：

1. 去掉运行时间中的常数项：$O(n^2 + 2n)$
2. 去掉常数系数：$O(n^2 + n)$
3. 只保留最高项：$O(n^2)$

因此我们说，该算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

小结：

算法的运行时间取决于原操作（核心操作）在算法中重复执行的次数，也就是语句频度。

2.3、常见的时间复杂度

常见的时间复杂度及其关系如下：

$O(1)$<$O(log_2 n)$<$O(n)$<$O(nlogn)$<$O(n^2)$<$O(n^3)$<...<$O(n^k)$<$O(2^n)$...

简单举例如下：

(1) 常量阶

for(int i = 0; i<10000; ++i) {
    ++x;
    s+=x;
}

上述例子中，++x;的语句频度为10000，则其时间复杂度为$O(1)$，即常量阶。

(2) 对数阶

for(int i = 1; i <= n; i*=2) {
    ++x;
}

上述例子中，++x;的语句频度为$log_2 n$，则其时间复杂度为$O(log_2 n)$，即对数阶。

(3) 线性阶

for(int i = 1; i <= 2*n; ++i) {
    ++x;
    s+=x;
}

上述例子中，++x;的语句频度为$2×n$，则其时间复杂度为$O(n)$，即线性阶。

(4) 线性对数阶

for(int i = 1; i <= n; i*=2) {
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
        ++x;
        s+=x;
    }
}

上述例子中，++x;的语句频度为$nlog_2n$，则其时间复杂度为$O(nlog_2n)$，即线性阶。

(5) 平方阶

for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    for(int j = 1; j < n/2; ++j) {
        ++x;
        s+=x;
    }
}

上述例子中，++x;的语句频度为$n×n/2$，则其时间复杂度为$O(n^2)$，即平方阶。

(6) 立方阶

for(int i = 1; i<=n; i++) {
    for(int j = 1; j<=n; j++) {
        c[i][j] = 0;
        for(int k = 1; k<=n; k++) {
            c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];
        }
    }
}

上述例子中，c[i][j] = c[i][j] + a[i][k] * b[k][j];的语句频度为$n^3$，则其时间复杂度为$O(n^3)$，即立方阶。

2.4、空间复杂度

另外，记录一下空间复杂度。

一个算法所占用的存储空间包括三个方面：

• 算法本身所占用的存储空间
• 算法的输入输出所占用的存储空间
• 算法在运行过程中临时占用的存储空间

类似算法的时间复杂度，我们采用空间复杂度来度量算法所需存储空间的多少。记为$S(n) = O(f(n))$.

一般来说，算法执行时间的节省都是以增加空间存储为代价的。

另外，空间复杂度一般是考虑程序运行时占用内存的大小，而不是可执行文件的大小。

举两个例子：

• $O(1)$

int x = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    ++x;
}

在上述例子中，程序所需的内存空间并不会随着$n$的变化而变化。因此该算法的空间复杂度为常量阶，记为$O(1)$。

• $O(n)$

int* p = new int(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
    p[i] = i;
}

在上述例子中，程序消耗的内存空间随着参数$n$的增长而增长，呈线性增长，此时该算法的空间复杂度就记作$O(n)$。

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3、写在最后

好了，今天的笔记就到这里。