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符号说明

符号	说明
$N$	全体自然数，即正整数组成的集合： $1,2,3,...,n,n+1,...$
$Z$	全体整数组成的集合： $...,-n-1,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,n+1,...$
$Z[x]$	全体一元整系数多项式组成的集合
$a\mid b$	a 整除 b
$a\nmid b$	a 不整除 b
$p,p',p_1,p_2,...$	表素数（不可约数）
$a^k\|b$	$a^k\mid b,a^{k+1}\nmid b$
$(a_1,a_2)$	$a_1$ 和 $a_2$ 的最大公约数
$(a_1,a_2,...,a_k)$	$a_1,a_2,...,a_k$ 的最大公约数
$[a_1,a_2]$	$a_1$ 和 $a_2$ 的最小公倍数
$[a_1,a_2,...,a_k]$	$a_1,a_2,...,a_k$ 的最小公倍数
$\delta_m(a)$	a 对模 m 的指数
$[x]$	实数 x 的整数部分
$\{x\}$	实数 x 的小数部分
$\sum_{n\le x}$ ($\sum_{n<x}$)	对不超过（小于）实数 x 的正整数 n 求和
$\sum_{p\le x}$ ($\sum_{p<x}$)	对不超过（小于）实数 x 的素数 p 求和
$\sum_{d\mid a}$ ($\prod_{d\mid a}$)	对 n 的所有正除数 d 求和（积）
$\sum_{p\mid a}$ ($\prod_{p\mid a}$)	对 n 的所有素除数 p 求和（积）

自然数与整数

归纳原（公）理 设 $S$ 是 $N$ 的一个子集，满足条件：

1. $1\in S$;
2. 如果 $n\in S$,则 $n+1\in S$，

那么 $S=N$

数学归纳法 设 $P(n)$ 是关于自然数 $n$ 的一种性质或命题，如果

1. 当 $n=1$ 时，$P(1)$ 成立；
2. 由$P(n)$ 成立必可推出 $P(n+1)$ 成立，

那么 $P(n)$ 对所有自然数成立。

第二种数学归纳法 设 $P(n)$ 是关于自然数 $n$ 的一种性质或命题，如果

1. 当 $n=1$ 时，$P(1)$ 成立；
2. 对 $n>1$ 时，若对所有的自然数 $m<n$,$P(m)$ 成立，则必可推出 $P(n)$ 成立，

那么 $P(n)$ 对所有自然数 $n$ 成立。

鸽巢原理 设 $n$ 是一个自然数，现有 $n$ 个盒子和 $n-1$ 个物体，无论如何把这 $n+1$ 个物体放入这 $n$ 个盒子中，一定有一个盒子中被放了两个或两个以上物体。

整除的基本知识

整除的定义与基本性质

整除 设 $a,b\in Z,a\neq 0$。若存在 $q\in Z$，使得 $b=aq$，那么就说 $b$ 可以被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$，且称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的约数。$b$ 不能被 $a$ 整除记作 $a\nmid b$。

整除的性质

1. $a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\Leftrightarrow a\mid -b\Leftrightarrow |a|\mid|b|$
2. $(a\mid b)\wedge(b\mid c)\Rightarrow a\mid c$
3. $(a\mid b)\wedge(a\mid c)\Rightarrow a\mid(bx+cy), \forall x,y\in Z$
4. 设 $m\neq 0$，则 $a\mid b\Leftrightarrow ma\mid mb$
5. $(a\mid b)\wedge (b\mid a)\Rightarrow b=\pm a$
6. 设 $b\neq 0$，则 $a\mid b\Rightarrow|a|\le|b|$
7. 设 $a\neq 0,b=qa+c$，则 $a$ 整除 $b$ 的充分必要条件是 $a$ 整除 $c$

素数与合数

素数 设整数 $p\neq 0,\pm 1$，且除了 $\pm 1,\pm p$外没有其他约数，则称 $p$ 为素数。若整数 $a\neq 0,\pm 1$，且不是素数，则称 $a$ 为合数。

为了方便，以后若无特殊说明，素数总是指正的。

一个整数的除数如果是素数，这个除数就称为该整数的素因数。

唯一分解定理 设整数 $a\gt 2$，那么 $a$ 一定可以表示为素数的乘积，即 $a=p_1p_2...p_s$，其中 $p_j(1\le j\le s)$是素数。且该表示式在不记 $p_j(1\le j\le s)$ 次序的一一下是唯一的。

以下是用C语言分解质因数的代码实现。

#include <stdio.h>
int p[101],tot;
void getsplit(int a)
{
	tot=0;
	int x=a;
	for (long long i=2;i*i<=x;++i)
		while (x%i==0) p[++tot]=i,x/=i;
	if (x>1) p[++tot]=x;
	printf("%d=%d",a,p[1]);
	for (int i=2;i<=tot;++i) printf("*%d",p[i]);
}
int main()
{
    int a;
    scanf("%d",&a);
    getsplit(a);
    return 0;
}