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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。

最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入： nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出： 4
解释： 最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入： nums = [0,1,0,3,2,3]
输出： 4

示例 3：

输入： nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出： 1

首先需要注意的是题目要求的是子序列而不是子串，子串一定是连续的，而子序列不一定是连续的。

暴力解法

先得到输入数组的所有子序列，然后遍历这些子序列判断是否严格上升，并且找出最长的哪一个，不过这种方法在穷举所有子序列的时候时间复杂度非常高。

动态规划

• 首先定义状态，明确 dp 数组的定义，即dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾 的最长严格递增子序列的长度。
• 然后是找出状态转移方程，本题中，只有nums[i]大于它前面的数字，才能拼接在后面形成一个更长的上升子序列。
• 最后是base case,对于每个字符来说，它自己一个字符也属于上升子序列。所以dp[i] = 1。

代码如下：

int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int[] dp = new int[nums.length];
    Arrays.fill(dp, 1);
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j])
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2）
• 空间复杂度：O(N),只是额外使用了一个dp数组。