时间复杂度和空间复杂度

洛薯
114 阅读4分钟

前言

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在我们日常学习和刷题的过程中，总会遇到像下图这样的要求，那么图中所说的O(n),O(n^2)等等是什么意思呢？相信很多初学者都有这样的疑问。那么请看完这篇文章，相信你应该有自己的见解了。

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时间复杂度

概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

image.png 推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

所以使用大O渐进法表示后，func1的时间复杂度为O(N^2)。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

一般情况下我们关注的是算法的最坏运行情况。

举几个例子

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

func2的大概执行次数是2*N+10，由大O渐进法得出时间复杂度是O(N)。

// 计算func3的时间复杂度？
 void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        }
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

由于这里的M和N都是未知数，所以这里的时间复杂度为O(M+N)。

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
            }
        }
        if (sorted == true) {
            break;
        }
    }
}

解析如下图： image.png

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
    int begin = 0;
    int end = array.length - 1;
    while (begin <= end) {
        int mid = begin + ((end-begin) / 2);
        if (array[mid] < value)
            begin = mid + 1;
        else if (array[mid] > value)
            end = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

解析如下图： image.png

 // 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
    int fibonacci(int N) {
        return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
    }

递归的时间复杂度 = 递归的次数*每次递归执行的次数。

上题是一个三目运算符，故每次递归执行的次数为1次。

解析如下图：image.png

空间复杂度

概念

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

本质上就是衡量一个算法浪费内存的情况。

举几个例子

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
            }
        }
        if (sorted == true) {
            break;
        }
    }
}

空间复杂度即完成算法的使用临时空间的大小。 而该算法没有使用额外的空间。所以冒泡排序的空间复杂度为O(1)。

  // 计算fibonacci的空间复杂度？
 int[] fibonacci(int n) {
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n ; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
        }
        return fibArray;
    }

image.png

 // 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
    }

这里的递归每递归一次需要把数字存起来，需要栈上开辟额外的空间来存放，所以空间复杂度为O(n)。

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