递归

基本概念

让我们来举一个例子：数学中的阶乘运算：

在这个方程中，我们可以看到，当n为0时，结果为一个确定值1，当n≠0时，结果为与n有关的递推方程式。我们称上面一个式子为边界条件，下面一个式子为递归方程。而边界条件和递归方程是递归函数的两个要素，只有具备了这两个要素，递归函数才能在有限次计算后得出结果。

让我们再来看几个例子加深一下对递归思想的理解吧！

斐波那契数列

斐波那契数列是一个有名的数列，该数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和：1、1、2、3、5、8、13、21、34......

汉诺塔问题

设a、b、c是3个塔座。开始时，在塔座a上有n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1、2、...、n，现要求将塔座a上的这一叠圆盘移动到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：

规则1：每次只能移动一个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移动至a，b，c中任一塔座上。

总结一下，递归的优点是结构清晰、可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此为算法设计带来了很大方便。但其缺点是递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法（迭代）要多。

递归和迭代

Q：所有的递归实现都可以转换为迭代实现吗？反过来呢？

A：

迭代转化为递归通常较简单。

二分搜索

选择排序

插入排序

递归转化为迭代时，要复杂很多。例如很难将汉诺塔问题转化为循环迭代。
从实际上说，所有的迭代可以转换为递归，但递归不一定可以转换为迭代。

生成排序

如已知X = {1，2，3}的全排列P(x)，Y = {1，2，3，4}的全排列P(Y)，则P(X)和P(Y)之间存在什么关系？

4123 4132 4213 4231 4312 4321

1423 1432 2413 2431 3412 3421

1243 1342 2143 2341 3142 3241

1234 1324 2134 2314 3124 3214

因此，得出n个元素的集合Y = {y1, y2, ..., yn}的全排列的递归式为：

算法的复杂度由if和else两部分决定，直觉上觉得是else起决定作用。
实际上输出语句执行了nn!次，其中n!代表排序的总数，而每个排序有n个输出
所以复杂度由if决定为是Θ(nn!)

（当n≥2时，for循环执行n次(+n)，加上每一次递归调用函数(f(n-1))，所以执行次数总和为f(n) = nf(n-1) + n）

整数划分

一个正整数n可以表示成一个或多个正整数之和：n = n1 + n2 + ... + nk，其中n1 ≥ n2 ≥ ... ≥ nk ≥ 1，k ≥ 1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分，显然，当n > 1时，n存在多种划分。整数划分问题就是求正整数n的不同划分的个数。

例如正整数6有以下11种不同的划分：

1+1+1+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

4+2，4+1+1；

5+1；

6。

下面的方法是否可行？

1 + (n - 1),2 + (n - 2),3 + (n - 3),...,[n/2] + [n/2]

则：

p(n) = p(1) + p(n - 1) + p(2) + p(n - 2) + ... + p([n/2]) + p([n/2])

存在重复计算

我们换一种思路：对于任何一个正整数n，其本身就有一个边界条件是1 + 1 + ... + 1（n个1），我们用p(n,≤ 1)表示这个划分，也就是p(n,≤ 1)只包含小于等于1的划分的个数，即这些划分中所有的加数都小于等于1。这样，p(n,≤ 2)表示小于等于2的划分的个数，其由两部分组成：①小于等于1的划分p(n,≤ 1)；②包含2的划分，用p(n,= 2)表示。即：
p(n,≤ 2) = p(n,≤ 1) + p(n,= 2)
p(n,≤ m) = p(n,≤ m - 1) + p(n,= m), m ≤ n
其中p(n,= m)所代表的划分看成：
由此可得：p(n,= m) = p(n - m, ≤m)
p(n,≤ m) = p(n,≤ m - 1) + p(n - m, ≤m), m ≤ n
整数划分的最终递归式为：

时间复杂度

计算迭代次数

通常，程序的运行时间和程序的迭代次数成比例。因此计算程序的迭代次数就可以作为算法运行时间的指示器。这在很多算法中都可以得到应用，如查找、排序等等。

例：

分析：while迭代的次数是k + 1次（因为n ≥ 1可以写成n ≥ 2^0，运行过程n = 2^k -> 2^0），k = logn。在每次while循环里面for循环依次执行n,n/2,n/4,...,1次，所以，算法的时间复杂度为：

为什么在上面计算算法的时间复杂度时不考虑step6，而是只考虑step4呢？

如果同时考虑step4和step6，我们有

总结：使用计算迭代次数的技术来分析算法的时间复杂度时，只需要考虑最深层次的迭代。

频度分析

对于有些算法，计算迭代次数非常麻烦，有时甚至是不可能的。这个时候，可以使用频度分析。

如果算法中的一个元运算具有最高频度，所有其他元运算频度均在它的频度的常数倍内，则称这个元运算为基本运算。

例：在MERGE算法中，赋值运算具有最大频度：

将A的每个元素移到B（语句5和8）
又将B的每个元素移到A（语句16）所以算法复杂度为2n

最坏情况和平均情况分析

平均情况分析：通常考虑均匀分布情况下的复杂度。

如插入排序中，将第i个元素插入到前面已经排序好的数组中：

插入到第1个位置，比较i-1次
插入到其他位置（位置j），比较i-j+1次
平均比较次数为：
插入排序总的平均比较次数为：
插入排序最差的比较次数为：

复杂度的递归求解

在计算算法的复杂度时，经常会遇到算法的复杂度是一个递归表达式，所以需要求解这个递归式才能得出算法的复杂度。如对于某算法，设T(n)为输入规模为n的复杂度，其递归式为：

展开法：通过直接对递归的展开计算复杂度；
代入法：先猜测解的形式，再通过数学归纳法证明；
递归树方法：通过画递归树的方法来求解，因为这种方法适用性比较好，所以是最重要的方法；
主方法：针对T(n) = aT(n/b) + f(n)的形式，主方法给出了相关的规律，所以主方法是最简单的方法，但适用性较差。

展开法

展开法通过直接对递归的展开来计算复杂度，通常只能用于计算形式如T(n) = T(n - 1) + cn或者T(n) = T(n/2) + cn这种比较简单的递归式。

代入法

步骤：先猜测解的形式，再通过数学归纳法证明；
适用于对递归形式比较熟悉的情况；
代入法另外一用法是对展开法或者递归树法求得的复杂度，进行进一步确认。

这个例子告诉我们，对于复杂度的证明，可以通过任意一种符合复杂度的假设进行归纳证明，如要证明T(n) = Θ(n^2)，可以假设T(m) = cm^2（m < n，下同），也可以假设T(m) = cm^2 + bm，或者T(m) = cm^2 + bm + d都可，但归纳到T(n)时，必须是一致的。

递归树方法