为什么计算机表示浮点数会有误差计算机使用定点格式和浮点格式来表示数值，浮点数无法精确地表示数值，导致在浮点数运算的过程中

计算机使用定点格式和浮点格式来表示数值，浮点数无法精确地表示数值，导致在浮点数运算的过程中会有误差，比如：

>>> 0.1 + 0.2 == 0.3
False

计算机的浮点数运算误差和计算机底层的二进制表示方式有关，无论使用什么语言来进行浮点数运算，都会遇到精度的问题。

要解决精度问题，可以通过模拟运算或者允许很小范围的误差。

定点数和浮点数

顾名思义，定点数是指小数点位置是固定的，浮点数是指小数点位置是不固定的。

定点数

用定点数表示整数的时候，小数点的位置是固定在最右边的。用定点数表示小数的时候一般小数点固定在最左边。幻灯片2.png

计算机能够准确地表示一定范围内的整数。整数分为无符号整数和有符号整数，对于使用n位存储的无符号整数，最小整数所有位为0，最大整数所有位为1，所以能存储的整数范围是0到 $\sum^{n-1}_{i=0}2^i=2^n-1$ ；一般所有的机器都是以补码的形式表示有符号整数的，对于使用n位存储的有符号整数，最高位是符号位，符号位为1表示负数，符号位位0表示正数，对应的十进制的整数是 $-x_{n-1}2^{n-1} + \sum^{n-2}_{i=0}x_i2^i$ ，最小负数符号位为1其余位为0，最大正数符号位为0，其他位为1，所以能存储的整数范围是 $-2^{n-1}$ 到 $\sum^{n-2}_{i=0}2^i=2^{n-1}-1$ 。

浮点数

定点数能表示的数的范围是有限的，为了能表示更大范围的数字，需要使用浮点数。幻灯片3.png

使用浮点数表示时，数字被表示为 $N = M \cdot R^E$ ，其中M是尾数，E是阶码，R是阶码的基数，R为2，随着M和E的值的不同，小数点的位置是变化的（浮动的）。

这里只简单描述IEEE浮点标准，以了解为什么浮点数无法精确地表示数值，其实数值被编码的方式比本文所描述的要复杂一些。

IEEE浮点标准中数的表示形式是：

$V = (-1)^s \times M \times 2^E$

其中s是符号，E是阶码，M是尾数。

IEEE浮点标准中的规格化的32位（单精度）浮点数的表示为：

$V = (-1)^s \times (1.M) \times 2^{(E-127)}$

这个公式对应E的值既不是全为0，又不是全为1时的情况，127是偏置，等于 $2^{8-1}-1$ ，8是E的位数。

非规格化的单精度浮点数表示为：

$V = (-1)^s \times (M) \times 2^{(E-127)}$

这个公式对应的E值全为0的情况。

因为对于一定范围内的整数，都可以使用 $\sum^{n-1}_{i=0}x_i2^i$ 或 $-x_{n-1}2^{n-1} + \sum^{n-2}_{i=0}x_i2^i$ 准确表示出来，所以定点数能准确地表示一定范围内的整数，但是对于一定范围内的实数，有的数是不可以使用 $(-1)^s \times M \times 2^E$ 这种形式表示的，所以浮点数无法准确地表示数值，无法被该公式表示的值只能被近似地表示。

精度问题的解决方法

以Python语言为例，使用Python进行浮点数运算时，也会遇到浮点数精度的问题。

>>> 0.1
0.1

这里打印出的内容是0.1是Python自己做了四舍五入，打印出的内容不是实际存储在计算机的内容。在计算机存储中，是不能精确表示 $\frac{1}{10}$ 的，存储的是一个接近 $\frac{1}{10}$ 的值： $(-1)^0\times3602879701896397\times2^{-55}$ ，即0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625，当我们输出0.1的时候，直接输出存储在机器中的精确值，是非常不直观的，所以会通过四舍五入直接输出0.1。想要知道一个浮点数的精确的值的时候，可以使用float.as_integer_ratio()方法。

>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

在机器存储中，0.1和0.2都不能被精确的表示，都有误差，两者相加后也会有误差。

>>> 0.1 + 0.2 == 0.3
False

模拟计算

对于需要精确的十进制表示的情况，可以使用 decimal模块，它实现了十进制运算，适用于记账应用等需要高精度数据的应用。

>>> from decimal import Decimal
>>> Decimal('0.1') + Decimal('0.2') == Decimal('0.3')
True

还可以使用实现了基于有理数的运算的 fractions模块。

>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(1, 10) + Fraction(1, 5) == Fraction(3, 10)
True

允许很小范围的误差

自己定义一个误差的值，比如0.0000001，小于这个误差就认为没有误差。

>>> def __eq__(a, b):
...     return (a - b) < 0.0000001
... 
>>> __eq__(0.1 + 0.2, 0.3)
True

或者使用math包的isclose函数：

>>> from math import isclose
>>> isclose(0.1 + 0.2, 0.3)
True