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二分

整数二分

如果有单调性，就一定可以二分。但是有二分的不一定非得有单调性。

二分的本质是边界，将区间分为两个，一边满足某条性质，另一边不满足某条性质。然后可以找到这两个区间的边界，找任意一个区间的边界都可以。

但是找红色边界和绿色边界略有区别：

红色边界：

细节：关于为什么mid = (l + r +1) / 2 ，因为C++中取整是下取整。

• 假设mid = (l + r ) / 2 ；如果是 l = r - 1;那么下取整后 mid = l ，会陷入死循环。

也可以找绿色边界：

例题：数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 qq 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000 1≤q≤10000 1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

代码模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;
int m ,n ;
int q[N];


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 0; i < n ; i++)scanf("%d",&q[i]);
    
    while( m --)
    {
        int x; 
        scanf("%d", &x);
        
        int l = 0 , r = n - 1;
        while( l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x)r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        //上面二分出来的是第一个满足大于等于x的数，如果没有x，则是大于x的数。
        if(q[l] != x)cout << "-1 -1" <<endl;
        //对该数进行判断，如果不满足，则返回-1-1。
        else
        {
            //找到最后一个x的位置
            cout << l << ' ';
            
            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x)l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
}

浮点数二分

浮点数二分思路同上，有个好处是不需要处理边界。

例题：开平方

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

4

输出样例：

2.000000

代码模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    
    double l = 0, r =x ;
    while(r - l > 1e-8)
    {
        double mid = (l + r)/2;
        if(mid * mid >= x)r = mid;
        else l = mid ;
    }
    printf("%lf", l);
    return 0;
}

这里要强调的是精度问题：

while(r - l > 1e-8)

误差过大会导致精度不足。

这里给出一些经验值：误差值一般比保留位数多2

保留位数	误差值
4	1e-6
5	1e-7
6	1e-8

当然可以采用其他写法：

for(int i = 0; i < 100 ; i++);

直接循环100次，相当于把整个区间的长度直接循环$2^{100}$