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前言
位运算：
| 符号 | 说明 | 运算规则 |
|---|---|---|
| & | 与 | 两个位均为1，则为1 |
| ▏ | 或 | 两个位都为0, 则为0 |
^ | 异或 | 两个位相同为0, 相异则为1 |
| ~ | 取反 | 0变1, 1变0 |
| << | 左移 | 各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0 |
>> | 右移 | 各二进位全部右移若干位，对于无符号数，高位补0; 有符号数，有的补符号位 |
小技巧：
- 异或运算：
x ^ 0 = x - 与运算：
x & 0 = 0
快速求数字二进制表示中 1 的个数：
// n & (n - 1)：消除最低位的 1
// Time：O(k) 1的个数，Space:O(1)
while (n != 0) {
++cnt;
n &= (n - 1);
}
题目
（1）交替位二进制数（易）
题干分析
给定一个正整数，检查它的二进制表示是否总是 0、1 交替出现：换句话说，就是二进制表示中相邻两位的数字永不相同。
示例 1：
输入：n = 5
输出：true
解释：5 的二进制表示是：101
示例 2：
输入：n = 7
输出：false
解释：7 的二进制表示是：111.
示例 3：
输入：n = 11
输出：false
解释：11 的二进制表示是：1011.
思路解法
位运算，骚操作：n ^ (n >> 1)
^异或运算：n >> 1运算：位右移 1 位，即除 2
假设 n 为交替数，01 交替的二进制数字，那么经过 n ^ (n >> 1) 运算后，得到全为 1 的二进制数。
举个栗子：
# 第一步
# n = 5
bin(5) : 101
bin(5 >> 1) : 10
bin(5 ^ (5 >> 1)): 111
# 第二步
# 那么利用这个性质
bin(7) : 111
bin(7 + 1) : 1000
bin(7 & 7 + 1) : 0000
# 经过这两次运算，最后判断结果是否为 0，则可以判断出是否为交替数
AC 代码如下：
class Solution {
public boolean hasAlternatingBits(int n) {
n ^= n >> 1;
return (n & n + 1) == 0;
}
}
（2）数字 1 的个数（难）
题干分析
给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。
示例 1：
输入：n = 13
输出：6
示例 2：
输入：n = 0
输出：0
提示：0 <= n <= 109
思路解法
思路：
- 暴力法：每一个数字计算一遍
o(n * log10(n)) - 按位求数量
- 找规律，递归法
class Solution {
// 方式一：暴力法
// Time: O(n * log10(n)), Space: O(1), Faster: Time Limit Exceeded
public int countDigitOne(int n) {
if (n <= 0) return 0;
int result = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int cnt = countDigit(i);
result += cnt;
}
return result;
}
private int countDigit(int n) {
int cnt = 0;
while (n != 0) {
if (n % 10 == 1) ++cnt;
n /= 10;
}
return cnt;
}
// 方法二：
// Time: O(log10(n)), Space: O(1), Faster: 100.00%
public int countDigitOneMath(int n) {
if (n < 1) return 0;
long count = 0, factor = 1;
while (n / factor != 0) {
long digit = (n / factor) % 10;
long high = n / (10 * factor);
if (digit == 0) {
count += high * factor;
} else if (digit == 1) {
count += high * factor;
count += (n % factor) + 1;
} else {
count += (high + 1) * factor;
}
factor = factor * 10;
}
return (int) count;
}
// 方法三：找规律
public int countDigitOne3(int n) {
return f(n);
}
private int f(int n) {
// 上一级递归 n = 20、10之类的整十整百之类的情况；以及n=0的情况
if (n == 0) return 0;
// n < 10 即为个位，这样子只有一个1
if (n < 10) return 1;
String s = String.valueOf(n);
//长度：按例子来说是4位
int length = s.length();
// 这个base是解题速度100%的关键，本例中的是999中1的个数：300
// 99的话就是20 ; 9的话就是1 ；9999就是4000 这里大家应该发现规律了吧。
int base = (length - 1) * (int) Math.pow(10, length - 2);
// high 就是最高位的数字
int high = s.charAt(0) - '0';
// cur 就是当前所数量级，即1000
int cur = (int) Math.pow(10, length - 1);
if (high == 1) {
// 最高位为 1，1 + n - cur就是1000~1234中由千位数提供的1的个数，
// 剩下的f函数就是求1000~1234中由234产生的1的个数
return base + 1 + n - cur + f(n - high * cur);
} else {
// 有多少个 1000 = f(999) + 1
return base * high + cur + f(n - high * cur);
}
}
}
觉的方法三比较好理解：
- 999 中有 1 的个数：300个
- 99 中有 1 的个数：20个
- 9 中有 1 的个数：1个
# 举个栗子： 1000
# 计算：
