算法图解之Swift实践【第七章 狄克斯特拉算法】

郑知鱼
196 阅读3分钟

本人已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

使用狄克斯特拉算法

为了解决在图中找出最快路径的问题，我们可以使用狄克斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）。

实现步骤

  1. 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。
  2. 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
  3. 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
  4. 计算最终路径。

相关术语

  • 权重（weight）：狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重。
  • 加权图（weighted graph）：带权重的图称为加权图。
  • 非加权图（unweighted graph）：不带权重的图称为非加权图。
  • 环：从一个节点出发，走一圈之后又回到这个节点的图称为环。

适用场景

要计算非加权图中的最短路径，可使用广度优先搜索。 要计算加权图中的最短路径，可使用狄克斯特拉算法。 狄克斯特拉算法只适用于有向无环图（directed acyclic graph，DAG）。

负权边

在图中，可能出现边的权重为负数的情况，即经过这条边时，花销反而减少。 如果图中有负权边，则不能使用狄克斯特拉算法。 因为狄克斯特拉算法有一个前提：对于处理过的节点，没有前往该节点的更短路径。而负权边破坏了这一前提，是使用算法的前提条件不成立。 在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用另一种算法 —— 贝尔曼-福德算法（Bellman-Ford algorithm）。

实现

以下面的图为例。

截屏2022-09-28 17.30.20.png 要编写解决这个问题的代码，需要三个散列表。

截屏2022-09-28 17.34.07.png

随着算法的进行，你将不断更新散列表costs和parents。 首先需要实现这个图，由于需要同时存储邻居和前往邻居的开销，因此需要使用一个散列表嵌套另一个散列表。

var graph: [String: [String: Int]] = [:]
graph["start"]!["a"] = 6
graph["start"]!["b"] = 2

另外，仍需要一个散列表来存储每个节点的开销（指从起点出发前往该节点需要的时间）—— costs。 以及一个散列表存储父节点，用来更新最短路径 —— parents。 最后还需要一个数组用来记录处理过的节点，因为对于同一个节点，不需要多次处理 —— processed。

算法的整体流程图如下：

截屏2022-09-28 17.41.53.png

Swift代码实现如下：

// 构建图
var graph: [String: [String: Int]] = [:]
graph["start"] = [:]
graph["start"]!["a"] = 6
graph["start"]!["b"] = 2

graph["a"] = [:]
graph["a"]!["fin"] = 1

graph["b"] = [:]
graph["b"]!["a"] = 3
graph["b"]!["fin"] = 5

graph["fin"] = [:] // 终点没有邻节点

print("graph:\(graph)")

let infinity = Int(MAXINTERP) // 无穷大

// 存储每个节点开销的字典
var costs: [String: Int] = [:]
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

var parents: [String: String] = [:]
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = ""

// 记录处理过的节点
var processed: [String] = []

func findLowestCostNode(_ costs: [String: Int]) -> String {
    var lowestCost = infinity
    var lowestCostNode = ""
    for (node, _) in costs {
        let cost = costs[node]!
        // 如果当前节点的开销更低且未处理过
        if cost < lowestCost, processed.contains(node) {
            lowestCost = cost
            lowestCostNode = node
        }
    }
    
    return lowestCostNode
}

func Dijkstra() {
    var node = findLowestCostNode(costs)
    let cost = costs[node]!
    let neightbors = graph[node] ?? [:]
    for (n, _) in neightbors {
        let newCost = cost + neightbors[n]!
        
        if costs[n]! > newCost {
            costs[n] = newCost // 更新改邻节点的开销
            parents[n] = node // 同时将该邻节点的父节点设置为当前节点
        }
    }
    
    processed.append(node)
    node = findLowestCostNode(costs)
    
    print("node:\(node)")
}

Dijkstra()

练习

7.1 在下面的各个图中，从起点到终点的最短路径的总权重分别是多少？

截屏2022-09-29 15.09.59.png

A: 5 + 2 + 1 = 8

B: 10 + 20 + 30 = 60

C: 无法使用狄克斯特拉算法找出最短路径，因为存在负权边。

小结

  • 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径。
  • 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径。
  • 仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用。
  • 如果图中包含负权边，请使用贝尔曼-福德算法。
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